Exercice 1 — Énoncé — Olympiades 2011 Poitiers

Sujet

Bob : «Salut Alice! Tiens, c'est un trinôme du second degré que tu as écrit dans la marge de ta feuille. Quelles en sont les racines? »

Alice : « Ce sont deux entiers positifs. L'une des racines est mon âge, et l'autre est l'âge de mon petit frère Clément. »

Bob : « C'est amusant! Voyons, si je peux deviner quel âge vous avez, Clément et toi. Cela ne devrait pas être trop difficile, puisque les coefficients sont entiers. Je crois deviner ton âge, il me suffit de vérifier en remplaçant \(x\) par ce nombre...
Zut! Cela donne -55 au lieu de 0 . »
Alice : « C'est que je n'ai pas cet âge là !. . . »
Bob : «Sans doute. A propos si je remplace \(x\) par 1 j'obtiens la somme des coefficients. »
Alice : «Effectivement! Il faut aussi que tu saches que cette somme est égale à mon âge moins un. »
David qui a tout entendu, donne alors l'âge de Clément et celui d'Alice.
a. Prouver que Clément est âgé de 2 ans.
b. Déterminer l'âge d'Alice, sachant qu'elle a entre 10 et 50 ans.

a. On notera \(m\) l'âge de Clément et \(n\) l'âge dŠAlice, de plus Clément est plus jeune qu'Alice donc \(m Le polynôme \(p(x)=a x^{2}+b x+c=a(x-n)(x-m)\)
\(a+1-n(a+1)+a m(n-1)=0\) donc \(a+1-a n-n-a m+a m n=0\)
\(a+1-n(a+1)+a m(n-1)=0\)
\((a+1)(1-n)+a m(n-1)=0\)
\((n-1)(a m-a-1)=0\).
Si \(n=1\), implique que \(m=0\), ce qui est impossible.
Enfin \(a(m-1)=1\) on en déduit que \(a=1\) et \(m=2\).
b. Bob choisit un nombre \(N\) et alors on a \(p(N)=-55\), donc \((N-m)(N-2)=-55\).

Si \(N=1\), alors \(1-m=-55\), soit \(m=56\), impossible.
On peut supposer que \(N-2>0\) donc \(N-2=11\) ou \(N-2=5\) ou \(N-2=1\)
\(N=13\) implique que \(13-m=-5\), donc \(m=18\)
\(N=7\) implique que \(7-m=-11\) donc \(m=18\)
\(N=3\) implique que \(3-m=-55\) donc \(m=58\), impossible.

Alice a donc 18 ans.

Deuxième exercice académique

Toutes séries Jeu de l'isocoupe

Énoncé

Pour jouer au jeu de l'isocoupe, il faut deux participants, une feuille de papier de forme polygonale et une paire de ciseaux.
Pour réaliser une isocoupe il faut couper la feuille en deux morceaux en partant de l'un des sommets. Cette découpe doit suivre une ligne droite et l'un des deux morceaux obtenus doit être un triangle isocèle. Le premier joueur réalise une isocoupe à partir de la feuille de départ, il jette le triangle isocèle obtenu et passe l'autre morceau au second joueur qui doit à son tour réaliser une isocoupe, et ainsi de suite...

Un joueur a gagné s'il réussit, après son isocoupe, à former une figure ayant exactement la même forme, mais bien sûr, en plus petit, que le morceau qu'il a reçu.
Le jeu s'arrête lorsqu'un des deux joueurs a gagné.
A et B jouent ensemble. Ce sont deux joueurs confirmés, ils réalisent toujours l'isocoupe la plus astucieuse. A coupe le premier.

A prend une feuille carrée. Qui va gagner?
A prend une feuille rectangulaire, deux fois plus longue que large. Qui va gagner?
A prend une feuille rectangulaire, \(n\) fois plus longue que large ( \(n\) entier). Qui va gagner?
A et C jouent ensemble. \(\mathbf{C}\) est un joueur débutant. A prend une feuille carrée et coupe le premier, C coupe à son tour, mais ne réalise pas l'isocoupe la plus astucieuse, alors A coupe et gagne. Comment coupe-t-il?