Olympiades · Académie Paris · 2011 · Toutes séries
Probabilités / Statistiques
Une baguette est cassée en trois morceaux; les points de fracture sont situés au hasard.
Déterminer la probabilité que l'on puisse construire un triangle non aplati avec ces trois morceaux.
Le plan est rapporté au repère orthonormal \((O ; I ; J)\). On suppose la baguette égale au segment [OI]. Appelons \(x\) et \(y\) les abscisses des points de fracture \(; x\) et \(y\) sont répartis suivant la loi uniforme sur \([0 ; 1]\) et le point \(P(x ; y)\) est dans le carré \([\mathrm{OI}] \times[\mathrm{OJ}]\).
Supposons \(x \leqslant y\); on peut obtenir un triangle non aplati si et seulement si \(x<\frac{1}{2}, y-x<\frac{1}{2}\) et \(1-y<\frac{1}{2}\).
Ces trois conditions détermineront un triangle inclus dans \([\mathrm{OI}] \times[\mathrm{OJ}]\) d'aire \(\frac{1}{8}\).
On traite de même le cas \(x>y\).
La probabilité demandée est donc égale à \(\frac{1}{4}\).