Exercice 1 — Des bâtons et des pavés

Sujet

En une dimension

Soit \(n\) un entier naturel non nul.
On appelle bâton tout intervalle inclus dans [ \(0, n\) ] non réduit à un point, dont les bornes sont des nombres entiers.
Question \(\mathbf{n}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{1}\) : Combien existe-t-il de tels bâtons?

En trois dimensions

On dispose de cubes de même taille portant des numéros distincts.
On appelle boîte tout assemblage de ces cubes formant un pavé (parallélépipède rectangle) plein. Deux boîtes contenant des cubes différents sont considérées distinctes.
Une boîte \(B\) comporte 385 cubes.
Question \(\mathbf{n}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{2}\) : Quelles sont les dimensions de \(B\) sachant qu'elles sont strictement supérieure à 1 ?
Question \(\mathbf{n}^{\mathbf{o}} \mathbf{3}\) : Combien de boîtes distinctes la boîte \(B\) contient-elle?
On enlève 7 des 8 cubes situés en un sommet de \(B\) pour former le solide \(S\).
Question \(\mathbf{n}^{\mathbf{o}} \mathbf{4}\) : Combien de boîtes distinctes le solide \(S\) contient-il?

\(\binom{n+1}{2}=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\)
\(385=5 \times 7 \times 11\), la décomposition étant unique.
On note \(385=k \times \ell \times m\).
\(N_{\text {tot }}\) désigne le nombre de boîtes contenues dans \(B\).

\[ N_{t o t}=\frac{k(k+1)}{2} \times \frac{\ell(\ell+1)}{2} \times \frac{m(m+1)}{2}=15 \times 28 \times 66=27720 \]

Soit \(N\) le nombre recherché. Il convient d'ôter au nombre \(N_{\text {tot }}\) trouvé précédemment les boîtes contenant

tous les sommets

Il y en a : \(N_{\text {pavé }}=1\)

une face entière de \(B\) et une seule :

Les 6 faces de \(B\) se répartissent par paires suivant trois dimensions possibles : \(5 \times 7\); \(5 \times 11\) et \(7 \times 11\).
Il y a \(n_{k \times \ell}=m-1\) boîtes distinctes contenant une face donnée de dimensions \(k \times \ell\) et elle seule, donc

\[ N_{f a c e}=2\left(n_{5 \times 7}+n_{5 \times 11}+n_{7 \times 11}\right)=2((11-1)+(7-1)+(5-1))=40 \]