Exercice 2

Sujet

Autour d'un triangle

Énoncé et Éléments de solution

Cet exercice nous est parvenu sans énoncé. Mais, à la lecture de la solution, il ne sera pas difficile au lecteur de le reconstituer.

Plusieurs méthodes sont possibles, en voici une ne faisant intervenir que la somme des angles d'un triangle :

1. triangles DEF et FHK sont isocèles dont l'angle au sommet a pour mesure \(90+60=150^{\circ}\).
   Les autres angles ont pour mesures :
   \((180-150) / 2=15^{\circ}\)
   De même, les triangles EGK et ACF sont isocèles dont l'angle au sommet a pour mesure \(45+60+45=150^{\circ}\).
   Les autres angles ont pour mesures :
   \((180-150) / 2=15^{\circ}\)
   On a donc :
   \(\widehat{F K H}=\widehat{H F K}=\widehat{E D F}=\widehat{D E F}=15^{\circ}\)
   \(\widehat{E G K}=\widehat{E K G}=\widehat{C A F}=\widehat{C F A}=15^{\circ}\).
   \(\widehat{F K G}=\widehat{H K E}-\widehat{H K F}-\widehat{E K G}=45-15-15=15^{\circ}\)
   De même, on démontre que \(\widehat{A F D}=15^{\circ}\).
   \(\widehat{E F K}=\widehat{E F H}-\widehat{H F K}=60-15=45^{\circ}\)
   De même on démontre que \(\widehat{C F D}=45^{\circ}\).
   \(\widehat{D A F}=\widehat{D A C}-\widehat{C A F}=45-15=30^{\circ}\).
   On considère le triangle ADF ;
   \(\widehat{A F D}=180-\widehat{D A F}-\widehat{A D F}=180-30-135=15^{\circ}\).
   

Soit O l'intersection de (GK) et (AF),
\(\widehat{K F O}=45+15+15=75^{\circ}\) et \(\widehat{F K O}=15^{\circ}\).
En considérant le triangle KFO,
\(\widehat{F O K}=180-15-75=90^{\circ}\).
D'où \((\mathrm{AF}) \perp(\mathrm{KG})\).