Exercice 1

Sujet

Traversée d'un cube

Énoncé et Éléments de solution \({

^{2}\)}

Règles du déplacement :

Sur la figure, le cube est légèrement aplati et posé sur une arête afin de faciliter la compréhension.
Une fourmi se déplace au hasard sur les arêtes d'un cube ABCDEFGH sans jamais faire demi-tour. Par exemple, si elle est en F et vient de B , elle ne peut pas repartir vers B .
Elle peut cependant tourner en rond. Par exemple, elle peut faire le trajet ABECA et revenir à son point de départ. Ce trajet compte 4 déplacements.
On suppose qu'elle part du sommet A par l'arête de son choix (vers B, C ou D) et qu'elle continue ses déplacements jusqu'à ce qu'elle ait traversé le cube, c'est-à-dire jusqu'à ce qu'elle arrive en H . On considère qu'un déplacement qui la rapproche de H va dans le bon sens alors qu'un déplacement qui l'éloigne de H va dans le mauvais sens.
A chaque sommet, elle a donc le choix entre 2 arêtes. On considère que chacune de ces deux directions a la même «chance» d'être choisie. Par exemple, si elle est en E et qu'elle vient de C , elle a autant de chance de continuer vers B que de continuer vers H .

Compréhension de la simulation

1. En partant de A , où peut on aller : en 1 déplacement? En \(\mathrm{B}, \mathrm{C}\) ou D en 2 déplacements? En E, F ou G

Ceci est un cube.
Toutes les arêtes ont la même longueur.

\({ }^{2}\) Solution proposée par Thierry Jalras