Exercice 1 — Marelle cyclique

Sujet

Léo compose un tableau de la manière suivante :

• Sur la première ligne, il écrit deux chiffres pris parmi les dix entiers \(0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8\) et 9 (ces deux chiffres pouvant être égaux).
• Ensuite il pose alternativement des lignes à trois ou deux cases.
• Pour remplir une case :
• il calcule la somme des deux chiffres placés juste au-dessus et écrit dans la case le chiffre des unités de cette somme.
• S'il n'y a qu'un seul chiffre au-dessus de la case à remplir, il répète ce chiffre.

Exemple :

Ligne 1
Ligne 2
Ligne 3
Ligne 4

Partie A

1. a. Compléter le tableau ci-dessus (appelé «marelle») jusqu'à la ligne 9. Quelle serait la 2011 \({ }^{\text {ème }}\) ligne de cette figure?
   b. Construire jusqu'à la ligne 9 la marelle dont la première ligne est formée des chiffres 3 et 2 .
   c. Recommencer en prenant les chiffres 7 et 3 sur la première ligne.
   d. Quelle conjecture peut-on faire sur les lignes 1 et 9 d'une marelle ?
2. Démontrer que toute marelle possède la propriété observée à la question 1.d. On pourra noter \(x\) et \(y\) les entiers choisis sur la première ligne.

Dans les deux parties suivantes, on garde la notation ( \(x ; y\) ) pour les deux nombres de la première ligne.

Partie B

1. Démontrer que la première ligne est identique à la troisième si et seulement si \(x+y\) est un multiple de 10 et en déduire toutes les valeurs possibles pour \((x ; y)\).
2. Donner toutes les valeurs de ( \(x ; y\) ) pour lesquelles la première ligne est identique à la cinquième sans être identique à la troisième ligne.
3. Peut-on donner des valeurs à ( \(x ; y\) ) pour que la première ligne soit identique à la septième sans être identique à la troisième ligne? Si oui, donner un exemple.

Partie B

Peut-on trouver une marelle dans laquelle apparaissent les 10 chiffres de 0 à 9 ? Si oui, donner un exemple. Sinon, justifier l'impossibilité de construire une telle marelle.