Sujet
Un aigle se trouve dans son nid (point \(A\) ) sur un piton rocheux à 600 m au-dessus d'une prairie. Un mouton (point \(M\) ) se trouve dans la prairie à 600 m de la verticale du rocher (point \(B\) ).
L'aigle \(p\) eut progresser de deux manières :
- en chute libre à la verticale à la vitesse de \(156 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\);
- en piqué direct sur un point fixé dans n'importe quelle direction, mais pas à la verticale, à la vitesse de \(60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\).
L'aigle peut attaquer de plusieurs façons : - soit piquer directement en M ;
- soit voler directement jusqu'en C, puis en chute libre, tomber sur le mouton ;
- soit encore piquer jusqu'en H, point du segment [CM] et ensuite tomber en chute libre sur le mouton.
La bergère (au point B), qui a vu le danger, peut se rendre près du mouton avec sa mobylette en 48 secondes. Pourra-t-elle, à coup sûr, sauver son mouton?
Vitesse en piqué : \(60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}=(100 / 6) \mathrm{m} / \mathrm{s}=(50 / 3) \mathrm{m} / \mathrm{s}\)
Vitesse en chute libre : \(156 \mathrm{~km} / \mathrm{h}=(130 / 3) \mathrm{m} / \mathrm{s}\)
On peut commencer par les 2 cas extrêmes :
- En piqué directement sur M : par Pythagore, \(A M=6 \sqrt{2} \times 10^{2}\) donc
\[ T=\frac{6 \sqrt{2} \times 600 \times 3}{50}=36 \sqrt{2} \approx 50,9 \mathrm{~s}>48 \mathrm{~s} \]
- L'aigle vole en piqué jusqu'en C et puis en chute libre sur le mouton : \(A C=600 \mathrm{~m}\) à la vitesse de \((50 / 3) \mathrm{m} / \mathrm{s}\), donc \(T_{1}=\frac{600}{600} \times 36=36 \mathrm{~s}\).