Exercice 2 — Terminaisons

Sujet

Rappel : \(N\) désigne la partie entière d'un nombre réel positif \(n\) :

• Si \(n
• Si \(n \geqslant N+0,5\) alors l'arrondi à l'unité de \(n\) est \(N+1\).

Pour tout entier naturel non nul \(n\), on note \(\{n\}\) le nombre d'entiers \(p\) tels que l'arrondi à l'unité de \(\sqrt{p}\) soit égal à \(n\).
Exemple :

1. Calculer \(\{4\}\).
2. Écrire un algorithme qui demande à l'utilisateur la valeur de \(n\) puis qui affiche le nombre \(\{n\}\). On utilisera les fonctions suivantes :

1. En faisant fonctionner cet algorithme pour plusieurs valeurs de \(n\), on obtient :

Que peut-on conjecturer sur la valeur de \(\{n\}\) en fonction de \(n\) ?
4. Soit \(n\) un entier naturel non nul.
a. Justifier qu'il n'existe aucun entier naturel \(p\) tel que \(\sqrt{p}=n+0,5\).

On admet que de la même façon, il n'existe aucun entier naturel \(p\) tel que \(\sqrt{p}=n-0,5\).
b. Combien y a-t-il d'entiers \(p\) qui vérifient \(n-0,5<\sqrt{p} c. Combien y a-t-il d'entiers \(p\) qui vérifient \(n<\sqrt{p}+0,5\) ?
d. Déduire de ce qui précède la valeur de \(\{n\}\).
5. Pour tout entier naturel non nul \(p\), on note \(R(p)\) l'arrondi à l'unité de \(\sqrt{p}\).

On considère tous les nombres entiers \(p\) tels que \(R(p)=10\).
Que vaut la somme de tous ces entiers?