Sujet
On rappelle que dans tout triangle les trois bissectrices des angles sont concourantes en un point. Ce point est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
1.
a. Soit ABC un triangle et I le centre du cercle inscrit.
Soit \(r\) le rayon du cercle inscrit. Soient H, L et K les points ds segments \([\mathrm{CB}]\), \([\mathrm{AB}]\) et \([\mathrm{CA}]\) tels que \(r=I H=I L=I K\).
Calculer l'aire du triangle IAB en fonction de \(r\) et \(A B\).
b. Sooit \(S\) l'aire du triangle ABC .
Démontrer l'égalité : \((A B+B C+A C) \times r=2 S\).
2.
Dans un jardin rectangulaire, deux bassins circulaires sont tangents à deux côtés, à une diagonale du rectangle et aux segments joignant les milieux de deux côtés, comme l'indique la figure ci-contre.
Sachant que le rayon de chacun des bassins mesure 2 mètres, calculer la longueur et la largeur du jardin.
- L'aire du triangle est la somme des aires des triangles AIB, AIC et BIC...
- La longueur est égale à deux fois le diamètre, donc 8 m .
Soit \(x\) la largeur. On applique la relation de la question 1 au triangle rectangle. On a \(S=4 x\) et \(r=2\).
En utilisant le théorème de Pythagore, on a la relation : \(4 x=x+8+\sqrt{x^{2}+64}\)
d'où \(3 x-8=\sqrt{x^{2}+64}\)
d'où \(9 x^{2}-48 x+64=x^{2}+64\)
d'où \(8 x^{2}-48 x=0\) d'où \(x=0\) ou \(x=6\).
La largeur du jardin est 6 m .
Figure 1
Figure 2
Figure 3
Indiquer pour chaque figure représentée si elle respecte les règles énoncées et préciser, lorsque ce n'est pas le cas, la règle non respectée.
2. Grille \(\mathbf{3} \times \mathbf{3}\)
Représenter toutes les dispositions possibles permettant de recouvrir une grille \(3 \times 3\).
3. Grille \(\mathbf{7} \times \mathbf{7}\)
Le nombre de carreaux noirs en coin utilisés pour recouvrir la grille \(7 \times 7\) est noté \(n\), celui des carreaux noirs en bordure est noté \(p\) et celui des carreaux noirs immergés est noté \(q\).
Le but de cette partie est de déterminer les triplets \((n ; p ; q)\) qui permettent de recouvrir la grille donnée.
Des grilles \(7 \times 7\), que vous pourrez rendre avec la copie, sont données en annexe pour tester des configurations.
a. Justifier que : \(4 n+6 p+9 q=49\).
b. Démontrer que les cas \(n=0, n=2\) et \(n=3\) sont impossibles ;
c. En déduire les triplets d'entiers naturels ( \(n ; p ; q\) ) solutions de l'équation : \(4 n+6 p+9 q=49\).
d. Montrer qu'il n'existe qu'un seul triplet permettant de résoudre le problème. Illustrer ce cas par une figure.
Document annexe de l'exercice 4
