Exercice 2 — Fonctions — Olympiades 2011 Nancy-Metz

Sujet

L'objectif de l'exercice est de déterminer une fonction \(f: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}\) qui vérifie les deux conditions ( \(\mathbf{N}\) désigne l'ensemble des nombres entiers naturels.) :

\(f(1)=1\)
pour tous les entiers naturels \(m\) et \(n, f(m+n)=f(m) \times f(n)+f(n)+f(m)\).

On suppose qu'une telle fonction \(f\) existe.
a. Calculer \(f(0)\) (On pourra poser \(n=0\) et \(m=1\) ).
b. Calculer \(f(2), f(3), f(6)\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(n, f(n+1)=2 f(n)+1\).
On pose pour tout entier naturel \(n, g(n)=f(n)+1\).

Montrer que, pour tous les entiers natuels \(m\) et \(n: g(n+m)=g(n) \times g(m)\).
4. Donner une fonction \(f\) qui réponde au problème.

a. \(f(1)=f(1+0)=f(1) \times f(0)+f(1)+f(0)=2 f(0)+1\) d'où \(f(0)=0\).
b. \(f(2)=f(1+1)=f(1)^{2}+2 f(1)=3 ; f(3)=f(2+1)=3 \times 1+3+1=7\); \(f(6)=f(3+3)=7 \times 7+7+7=63\).
Pour tout entier naturel \(n, f(n+1)=f(n) \times f(1)+f(n)+f(1)=2 f(n)+1\)
\(g(n+m)=f(n+m)+1=f(n) \times f(m)+f(n)+f(m)+1 g(n) \times g(m)=(f(n)+1)(f(m)+1)=f(n) \times f(m)+f(n)+f(m)+1\)
Quel que soit l'entier naturel \(a\), la fonction \(g\) qui à tout entier \(n\) associe \(a^{n}\) vérifie la relation \(g(n+m)=g(n) \times g(m)\).
La fonction \(f\) serait alors définie par \(f(n)=a^{n}-1\).
La condition \(f(1)=1\) impose que \(a=2\).