Exercice 1 — Petites boîtes — Olympiades 2011 Nancy-Metz

Sujet

a. On a décomposé un rectangle de longueur 40 cm et de largeur 24 cm en carrés tous identiques dont le côté est le plus grand entier possible, sans perte. Combien mesure le côté des carrés?
b. On a décomposé un carré en rectangles tous identiques de longueur 40 cm et de largeur 24 cm , sans perte. Combien doit mesurer le côté de ce carré s'il est le plus petit possible?
Soit \(\mathrm{B}_{1}\) une boîte en forme de pavé droit. Sa base est un carré de côté \(a=120 \mathrm{~cm}\) et sa hauteur est un nombre \(h\) de cm .
Soit \(\mathrm{B}_{2}\) une boîte en forme de pavé droit de dimensions \(24 \mathrm{~cm}, 40 \mathrm{~cm}\) et 12 cm . On veut remplir entièrement (sans espaces vides) la boîte \(\mathrm{B}_{1}\) avec des boîtes identiques \(\mathrm{B}_{2}\).
a. Montrer que si \(h\) est un multiple de 12 , alors le remplissage de \(\mathrm{B}_{1}\) par des boîtes \(\mathrm{B}_{2}\) est possible.
b. On prend \(h=100\). Montrer que le remplissage est encore possible.
Dans cette question, on prend \(h=96\).

On veut remplir entièrement la boîte \(B_{1}\) avec des boîtes cubiques \(B_{3}\), toutes identiques.
Soit \(x\) la longueur de l'arête de \(\mathrm{B}_{3}\). Sachant que chaque boîte \(\mathrm{B}_{3}\) doit contenir au moins 25 et au plus 30 boîtes cubiques \(\mathrm{B}_{4}\), toutes identiques, d'arête \(y\), quelles sont les valeurs entières possibles de \(x\) et de \(y\) ?

a. Le PGCD de 40 et 24 est 8 . Les carrés mesurent 8 cm .
b. Le côté du carré est divisible par 40 et par 24 . Le plus petit nombre convenant est 120 . Le côté mesure 120 cm .
a. Si on place les boîtes \(\mathrm{B}_{2}\) « couchées» sur leur face rectangulaire \(40 \times 24\), d'après la question 1b, on peut remplir le carré de côté 120 cm . La couche ainsi obtenue a pour hauteur 12 cm . Si \(h=12 k\), on peut remplir \(\mathrm{B}_{1}\) avec \(k\) couches de ce type.
b. On peut remplir 5 couches avec les boîtes \(\mathrm{B}_{1}\) placées avec la dimension 12 cm en hauteur. Il reste à remplir un pavé dont la base est un carré de 120 cm de côté et dont la hauteur mesure 40 cm . On peut placer des boîtes \(\mathrm{B}_{2}\) avec la dimension 40 en hauteur. Comme 12 et 24 divisent 120 , le carré sera rempli.
Les dimensions de \(\mathrm{B}_{1}\) sont 120,120 et 96 . \(x\) doit donc diviser 120 et 96 .

Les valeurs possibles pour \(x\) sont \(1,2,3,4,6,8,12\) et 24 .
La boîte \(\mathrm{B}_{3}\) est remplie par des boîtes cubiques \(\mathrm{B}_{4}\). Donc \(y\) est un diviseur de \(x: x=n y\).
On a \(25 y^{3} \leqslant x^{3} \leqslant 30 y^{3}\), d'où \(25 y^{3} \leqslant n^{3} x^{3} \leqslant 30 x^{3}\), donc \(25 \leqslant n^{3} \leqslant 30\). seul nombre entier dont le cube est compris entre 25 et 30 est 3 .
Donc \(x=3 y\). \(x\) est un multiple de 3 .
Les valeurs possibles pour \(x\) sont \(3,6,12\) et 24 . Les valeurs de \(y\) correspondant sont \(1,2,4\) et 8 .