Exercice 2 — Jeu de billes

Sujet

Un jeu oppose deux joueurs A et B .

Partie A

On dispose d'un tas de billes contenant \(n\) billes rouges et \(p\) billes bleues. Chaque joueur choisit à tour de rôle une couleur et retire du tas un certain nombre de billes de cette couleur (au moins une). Le joueur qui retire la dernière bille du jeu a perdu.

L'état des effectifs des billes dans le tas est représenté par un couple ( \(n, p\) ) appelé configuration : le premier nombre indiquant le nombre de billes rouges, et le deuxième le nombre de billes bleues. Par exemple, si le tas compte 3 billes rouges et 5 billes bleues, on note cette configuration ( 3,5 ).

Une configuration est dite gagnante si le joueur devant jouer à partir d'elle est sûr de gagner quelque soient les défenses de son adversaire. Elle est dite perdante si le joueur devant jouer à partir d'elle est sûr de perdre quels que soient ses choix si son adversaire agit au mieux.

1. Donner une configuration simple toujours gagnante ayant au moins une bille de chaque couleur.
2. La configuration \((2,2)\) est-elle gagnante?
3. Que peut-on dire de la configuration ( \(n, n\) ) pour \(n \geqslant 3\) ?

Partie B

On dispose d'un tas de billes contenant \(n\) billes rouges et \(p\) billes bleues et \(q\) billes jaunes. Et on garde la même règle du jeu.

L'état des effectifs des billes dans le tas est représenté par un triplet ( \(n, p, q\) ) appelé configuration : le premier nombre indiquant le nombre de billes rouges, le deuxième le nombre de billes bleues et le troisième le nombre de billes jaunes.

1. Donner une configuration simple toujours gagnante et une autre toujours perdante, ayant au moins une bille de chaque couleur.
2. Que peut-on dire des configurations ( \(1,2,3\) ) et ( \(2,4,5\) ) ? Justifiez vos réponses.