Exercice 1 — Jeu de cubes

On construit un grand cube au moyen de 64 petits cubes de 1 cm de côté.

1. Le volume du grand cube est, par construction, égal à \(64 \mathrm{~cm}^{3}\). La longueur de son côté est donc donnée par le nombre dont le cube vaut \(\mathbf{6 4}\), soit \(\mathbf{4} \mathbf{~ c m}\).
2. a. Oui, il y a des petits cubes ayant 3 faces peintes : ce sont ceux qui sont aux sommets du grand cube. Il y en a donc 8.
   b. Sur un petit cube, il peut y avoir :

• 3 faces peintes : il y en a 8
• 2 faces peintes s'il est sur une arête sans être sur un sommet : il y en a 2 sur chacune des 12 arêtes soit \(\mathbf{1 2} \times \mathbf{2}=\mathbf{2 4}\) petits cubes ayant \(\mathbf{2}\) faces peintes.
• 1 face peinte s'il est sur une face sans être sur une arête : il y en a 4 sur chaque face soit \(\mathbf{6} \times \mathbf{4}=\mathbf{2 4}\) petits cubes ayant une face peinte.
• 0 s'il est à l'intérieur d'une première couche de petits cubes : il y en a \(\mathbf{2}^{\mathbf{3}}=\mathbf{8}\).

On a \(8+24+24+8=64\). Il n'y a pas d'autre possibilité.
3. Dans un petit cube, la diagonale d'une face mesure \(\sqrt{2} \mathrm{~cm}\) et sa grande diagonale \(\sqrt{3} \mathrm{~cm}\) (théorème de Pythagore). Ces nombres sont inférieurs au rayon de la sphère ( 2 cm ). On en déduit que seuls les 8 petits cubes intérieurs sont entièrement contenus dans la sphère. Ceux qui sont extérieurs sont tous coupés par elle, car la distance d'un de leur sommet à O est supérieure à 2 cm .
4. a. \(6^{3}-4^{3}=216-64=152\). Il faut rajouter \(\mathbf{1 5 2}\) petits cubes pour obtenir un grand cube de 6 cm de côté.