Exercice 2

Sujet

Julie aime le café et se sert toujours une tasse de 200 mL . Hier, elle a bu son café de la manière suivante : elle a bu la moitié de son café, puis le tiers de ce qu'il restait, puis le quart de ce qu'il restait, et ainsi de suite jusqu'à boire le centième de ce qu'il restait. Aujourd'hui, le café est très chaud. Julie boit le centième du café, puis le quatre-vingt-dix-neuvième de ce qu'il reste, et ainsi de suite jusqu'à boire la moitié de ce qu'il reste.

1. Montrer qu'aujourd'hui, Julie a bu 198 mL de café.
2. Déterminer la quantité de café qui restait dans la tasse hier, et démontrer que

\[ \frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+\cdots \frac{1}{99 \times 100}=\frac{99}{100} . \]

1. Au lieu de boire \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots, \frac{1}{100}\) de son café, elle boit maintenant \(\frac{1}{2^{k}}, \frac{1}{3^{k}}, \ldots, \frac{1}{100^{k}}\) de son café, où \(k\) est un nombre entier naturel, non nul. Quelle quantité de café a-t-elle bue si \(k=2\) ?
2. Au lieu de boire \(\frac{1}{100}, \frac{1}{99}, \ldots, \frac{1}{2}\) de son café, elle boit maintenant \(\frac{1}{100^{k}}, \frac{1}{99^{k}}, \ldots, \frac{1}{2^{k}}\) de son café. Quelle quantité de café a-t-elle bue si \(k=2\) ?
3. Pour \(k\) quelconque, a-t-elle bu plus, moins ou autant de café si elle commence par boire \(\frac{1}{2^{k}}\) ou \(\frac{1}{100^{k}}\) de son café?