Sujet
Un, deux, trois ou quatre côtés d'un carré de côté \(n\) ( \(n\) entier naturel supérieur ou égal à deux) sont peints en rouge. On découpe ce carré en \(n^{2}\) petits carrés de côté 1 .
- Dans cette question, \(n=5\). Pour chaque façon de peindre les côtés du carré que l'on précisera, déterminer le nombre de petits carrés ayant au moins un côté rouge?
- Julie a obtenu 28 petits carrés ayant au moins un côté rouge. Que peut valoir \(n\) ?
On peint maintenant, une, deux, trois, quatre, cinq, ou six faces d'un cube de côté \(n\) en rouge. On coupe ce cube en \(n^{3}\) petits cubes d'arête 1 .
3. Dans cette question, \(n=5\). Pour chaque façon de peindre les faces du cube que l'on précisera, déterminer le nombre de petits cubes ayant au moins une face rouge?
4. Exprimer en fonction de \(n\), pour chaque façon de peindre le cube, le nombre de petits cubes ayant au moins une face peinte.
5. En peignant les six faces du cube, Julie a trouvé 728 petits cubes ayant au moins une face peinte. Existe-t-il une autre configuration (une, deux, trois, quatre ou cinq faces peintes) donnant également 728 petits cubes ayant au moins une face peinte?
- Pour \(n=5\)
| 1 côté rouge | 2 côtés rouges | 3 côtés rouges | 4 côtés rouges |
| 5 | 9 ou 10 | 13 | 16 |
 | □ |  |  |
- Valeur de \(n\) pour 28 carrés ayant au moins un côté rouge :
| 1 côté rouge | 2 côtés rouges | 3 côtés rouges | 4 côtés rouges |
| \(n\) | \(2 n-1\) ou \(2 n\) | \(3 n+2\) | \(4 n-4\) |
Julie peut donc avoir peint un côté d'un carré de côté 28 , ou deux côtés opposés d'un carré de côté 14 , ou trois côtés d'un carré de côté 10 , ou enfin les quatre côtés d'un carré de côté 8 .