Exercice 3 — Les nombres belges — Olympiades 2011 Limoges

Sujet

On choisit un nombre à deux chiffres.
On construit alors une suite de nombres en partant de zéro et en ajoutant tour à tour le chiffre des dizaines puis le chiffre des unités du nombre choisi.

Exemples :

On choisit 25 :
On construit alors la suite \(: 0 ; 2 ; 7 ; 9 ; 14 ; 16 ; 21 ; 23 ; 28 ; \ldots\) etc.
On choisit 13 :
On construit alors la suite : \(0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 8 ; 9 ; 12 ; \underline{\mathbf{1 3}} ; 16 ; 17 ; \ldots\) etc.

Définition :
On dit qu'un nombre est un nombre belge s'il figure dans la suite qu'il permet de construire.
Ainsi 13 est un nombre belge alors que 25 ne l'est pas.

27 est-il un nombre belge?
Quel est le plus petit nombre à deux chiffres qui n'est pas belge?

Soit \(M=\underline{a b}\) un nombre à deux chiffres où \(a\) désigne le chiffre des dizai,ne et \(b\) celui des unités.
3. Montrer que si \(M\) est multiple de \(a+b\) alors \(M\) est belge.
4. Montrer que si \(M-a\) est multiple de \(a+b\) alors \(M\) est belge.
5. Est-il possible de trouver un nombre belge à deux chiffres qui ne vérifie pas l'une des deux conditions précédentes? Si oui donner le plus petit, et si non expliquer pourquoi.
6. Établir la liste des 10 premiers nombres belges à 2 chiffres.

Nombres à trois chiffres :

On reprend la même définition, mais on construit la suite associée en ajoutant cette fois tour à tour le chiffre des centaines, puis celui des dizaines, puis celui des unités du nombre choisi.
7. Montrer que 112 est belge.

Trouver le plus petit nombre belge supérieur ou égal à 113 .
À quelle(s) condition(s) un nombre à trois chiffres \(M=\overline{a b c}\) est-il un nombre belge?

a. On construit la suite associée à 27 :
\(0 ; 2 ; 9 ; 11 ; 18 ; 20 ; 27 ; 29 ; \ldots\) On constate que 27 est belge.
b. 14 est le plus petit nombre à 2 chiffres qui n'est pas belge.

Comme on additionne tour à tour \(a\) et \(b\), les termes de la suite associée sont donc :
\(u_{1}=a, u_{2}=a+b, u_{3}=2 a+b, u_{4}=2 a+2 b\), par une récurrence simple, on obtient :
\(u_{2 p}=p a+p b, u_{2 p+1}=(p+1) a+p b\).
c. Si \(M\) est multiple de \(a+b\), il existe \(k\) tel que \(M=k a+k b=u_{2 k}\) et donc \(M\) est belge.