Exercice 2 — Auto-référence

Sujet

Le tableau ci-dessous est auto-référent. La dernière ligne se décrit d'elle-même.

On peut effectivement constater que la dernière ligne contient

• 1 fois le nombre 0,
• 2 fois le nombre 1,
• 1 fois le nombre 2,
• 0 fois le nombre 3.

On appelle tableau auto-référent d'ordre \(n\) un tableau auto-référent qui contient sur la première ligne tous les entiers de 0 à \(n\). Le tableau précédent est donc d'ordre 3 .

1. Proposer un deuxième tableau auto-référent d'ordre 3.

Existe-t-il un troisième tableau d'ordre 3 ?
2. Quelle est nécessairement la somme des nombres de la dernière ligne pour un tableau auto-référent d'ordre 3? et pour un tableau auto-référent d'ordre \(n\) ?
3. Proposer un tableau auto-référent d'ordre 4.

Existe-t-il un autre tableau auto-référent d'ordre 4 ?
4. Montrer qu'on ne peut pas construire un tableau auto-référent d'ordre 5

1. Proposer un tableau auto-référent d'ordre 6

1. Sur le modèle du tableau précédent, montrer qu'on peut construire un tableau auto-référent d'ordre \(n\), pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 6 .