Exercice 2 — Des couples parfaits

Sujet

Le couple d'entiers \((25 ; 36)\) possède deux propriéts remarquables :

• Ce sont des carrés parfaits.
• Le deuxième nombre s'écrit avec les chiffres du premier augmentés de 1 , dans le même ordre.

Bernard et Cécile cherchent d'autres couples vérifiant ces deux propriétés.

Partie I

Dans un premier temps, ils se limitent aux entiers inférieurs à 100 pour tester leur méthode.

1. Existe-t-il des couples d'entiers à deux chiffres (compris entre 10 et 99 ) vérifiant ces deux propriétés?
2. Pour vérifier leurs résultats, Bernard propose l'algorithme suivant :

Pour \(i\) allant de 10 à 88
    Si \(\sqrt{i}\) est un entier et \(\sqrt{i+11}\) est un entier
        Alors écrire \(i\) et \(i+11\)
    Fin du Si
Fin du Pour

Cécile propose l'algorithme suivant

Pour \(i\) allant de 4 à 9
    Si \(\sqrt{i^{2}+11}\) est un entier
        Alors écrire \(i^{2}\) et \(i^{2}+11\)
    Fin du Si
Fin du Pour

Pour chaque algorithme, on appellera temps de l'algorithme le nombre de fois que le programme correspondant rencontrera une condition (Si); par exemple, le temps de l'algorithme de Bernard est 79.
a. Pour chaque algorithme proposé, expliquer ce que représente la variable \(i\).
b. Quel est le temps de l'algorithme de Cécile.

Partie II

Bernard et Cécile cherchent maintenant les couples d'entiers naturels à quatre chiffres (compris entre 1000 et 9999) vérifiant les deux propriétés.
(a) Comment chacun peut-il transformer son algorithme pour résoudre le problème? Quel sera alors le temps de chaque algorithme?
(b) Quelle est la réponse au problème posé?
(c) René ne sait pas écrire d'algorithme. Comment peut-il résoudre le problème malgré tout?

Partie III

Dans le cas des couples d'entiers à trois chiffres (compris entre 100 et 999), que vont donner les algorithmes adaptés de Bernard et Cécile?
Quelle est la réponse au problème posé?