Exercice 1 — Les mots transformés — Olympiades 2011 Guyane

Sujet

Une transformation sur les mots consiste à enlever les deux dernières lettres pour les placer devant dans l'ordre inverse.

Ainsi par exemple, le mot JEU devient UEJ et le mot MATHS devient SHMAT. On notera alors les résultats de ces transformations de la façon suivante:

\[ \text { JEU → UEJ et MATHS } \text { → SHMAT } \]

Après un certain nombre de transformations successives, toutes les lettres reprennent leur place initiale dans le mot. Par exemple :

Après deus transformations, les lettres du mot JEU reprennent leur place initiale :

\[ \mathrm{JEU} \rightarrow \mathrm{UEJ} \rightarrow \mathrm{JEU} \]

Après 6 transformations, les lettres du mot MATHS reprennent leur place initiale :

\[ \text { MATHS → SHMAT } \text { → TASHM } \text { → MHTAS } \text { → SAMHT } \text { → THSAM } \text { → MATHS } \]

Déterminer le nombre minimum de transformations successives nécessaire pour que les lettres des deux mots suivants reprennent leur place initiale :
a) le mot MATHEUX
b) le mot OLYMPIADE
Qu'obtient-on lorqu'on a transformé 2011 fois le mot MATHEMATIQUES?

La transformation faisant passer les deux dernières lettres devant, toutes les autres lettres sont décalées de deux rangs vers la droite.
De plus, le nombre de lettres étant impair et l'ordre des deux lettres déplacées étant changé, on peur remarquer que les lettres de rang impair restent à un rang impair et, de même, les lettres de rang pair restent à un rang pair.
Finalement, les lettres de rang impair sont décalées d'un rang (impair) vers la droite, la dernière venant devant.
a. Le mot MATHEUX a :

4 lettres de rang impair qui reviennent donc à leur place toutes les 4 transformations :

\[ \text { M-T-E-X → X-M-T-E } \text { → E-X-M-T } \text { → T-E-X-M } \text { → M-T-E-X } \]

3 lettres de rang pair qui reviennent donc à leur place toutes les 3 transformations :
-A-H-U- → -U-A-H- → -H-U-A- → -A-H-U.

En consequence, les lettres du mot MATHEUX reprennent leur place lorsque le nombre de transformations est simultanement multiple de 4 et de 3 . Le plus petit entier non nul multiple de 4 et de 3 est 12. Il faut donc au minimum 12 transformations successives pour que les lettres du mot MATHEUX reprennent leur place initiale.