Sujet
Dans la figure ci-contre :
- I est le milieu de [AB],
- le triangle ABE est rectangle et isocèle en E ,
- le quadrilatère ABCD est un rectangle tel que \(B C=B E\). On désigne par M le point de concours des droites (IC) et (BD).
- Quelle est la nature du quadrilatère IEBC?
- Que vaut le rapport \(\frac{B M}{B D}\) ?
- Quelle est la nature du triangle IMB ?
- Le triangle ABE étant isocèle en E et I le milieu de \([\mathrm{AB}]\), la droite (IE) est la médiatrice du segment \([\mathrm{AB}]\) donc (IE) est perpendiculaire à (AB). Le quadrilatère ABCD étant un rectangle alors les droites \((\mathrm{AB})\) et \((\mathrm{BC})\) sont perpendiculaires.
Conséquence : Les droites (IE) et (BC) sont parallèles car elles sont toutes deux perpendiculaires à \((\mathrm{AB})\) Le quadrilatère IEBC est un trapèze.
Remarque : Ce trapèze n'est pas un parallélogramme comme on le montre plus loin, par le calcul, \(C I \neq B E=a\).
2.
Soit O le centre du rectangle. Considérons le triangle ABC . Les droites (BO) et (CI) sont deux médianes du triangle ABC et M en est le centre de gravité. Le rapport \(\frac{B M}{B D}\) se calcule par : \(\frac{B M}{B D}=\frac{B M}{2 \times B O}=\frac{1}{2} \times \frac{B M}{B O}\) car O est le milieu de \([\mathrm{BD}]\) Or, sur la médiane \([\mathrm{BO}]\) du triangle ABC , le rapport \(\frac{B M}{B O}=\frac{2}{3}\) on en déduit donc :
\[ \frac{B M}{B D}=\frac{1}{3} \]
3. Utilisons la réciproque du théorème de Pythagore pour montrer que le triangle IMB est rectangle en M.
Posons : \(B E=B C=a\).
Calcul de \(B M^{2}\) en fonction de \(a\) :
D'après 2., \(B M^{2}=\frac{B D^{2}}{9}\) et dans le triangle rectangle \(\mathrm{DBC}, D B^{2}=B C^{2}+D C^{2}=a^{2}+D C^{2}\).
Dans le rectangle \(\mathrm{ABCD}, D C=A B\) et dans le triangle rectangle-isocèle \(\mathrm{AEB}, A B^{2}=2 a^{2}\).
On déduit alors : \(B M^{2}=\frac{a^{2}+2 a^{2}}{9}=\frac{a^{2}}{3}\).
Calcul de \(M I^{2}\) en fonction de \(a\) :
[0pt]
Sur la médiane [CI] du triangle ABC, nous avons : \(M I=\frac{1}{3} C I\) soit \(M I^{2}=\frac{C I^{2}}{9}\).
Dans le triangle rectangle IBC : \(C I^{2}=I B^{2}+B C^{2}=I B^{2}+a^{2}\).
Dans le triangle rectangle-isocèle AEB, \(I B^{2}=\frac{A B^{2}}{4}=\frac{2 a^{2}}{4}=\frac{a^{2}}{2}\).
Finalement, \(C I^{2}=\frac{a^{2}}{2}+a^{2}=\frac{3 a^{2}}{2}\) et \(M I^{2}=\frac{2}{9}=\frac{a^{2}}{6}\).
En résumé on a : \(B M^{2}=\frac{a^{2}}{3}, M I^{2}=\frac{a^{2}}{6}\) et \(B I^{2}=\frac{a^{2}}{2}\).
Donc : \(B M^{2}+M I^{2}=\frac{a^{2}}{3}+\frac{a^{2}}{6}=\frac{a^{2}}{2}=B I^{2}\).
Il en résulte que, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle IMB est rectangle en M.
Une autre solution consiste à choisir le repère orthonormé ( \(I, \vec{u}, \vec{v}\) ) du plan.
En posant \(I B \lambda\), Les coordonnées des différents points sont : \(\mathrm{I}(0 ; 0), \mathrm{A}(-\lambda ; 0), \mathrm{B}(\lambda ; 0)\), \(\mathrm{C}(\lambda ;-\lambda \sqrt{2}), \mathrm{D}(-\lambda ;-\lambda \sqrt{2}), \mathrm{E}(0 ; \lambda)\).
On cherche une équation de chacune des droites (DB) et (IC).
On trouve : (BD) : \(y=\frac{\sqrt{2}}{2}(x-\lambda)\), (CI) : \(y=-\sqrt{2}\).
En résolvant le système d'équations formé par les équations des droites (BD) et (CI), on trouve les coordonnées de \(\mathrm{M}\left(\frac{1}{3} ;-\frac{\lambda \sqrt{2}}{3}\right)\).
On termine l'exercice par des calculs de distances en repère orthonormé.
La troisième question peut être traitée à l'aide du produit scalaire ou bien en remarquant que le produit des coefficients directeurs des deux droites (BD) et (CI) vaut -1 .