Exercice 1 — Le retour du naturel — Olympiades 2011 Guadeloupe

Sujet

Dans cet exercice le mot entier désigne un entier naturel.

Le nombre 2011 peut-il s'écrire comme le produit de deux entiers consécutifs?
Vérifier que 2070 est le produit de deux entiers consécutifs.
Quels sont les chiffres possibles pour le chiffre des unités du produit de deux entiers consécutifs ?
Combien y a t-il d'entiers inférieurs à 100 , qui sont le produit de deux entiers consécutifs?
Quels sont les entiers compris entre 2000 et 2100 qui sont le produit de deux entiers consécutifs?
Montrer que le nombre \(a\) n'est un entier produit de deux entiers consécutifs que si \(\sqrt{1+4 a}\) est un entier impair.

2011 ne peut pas s'écrire comme le produit de deux entiers consécutifs : \(44 \times 45=1980\); \(45 \times 46=\) 2070.
Voir plus haut : \(45 \times 46=2070\).
Le chiffre des unités : \(0,2,6\).
10 entiers inférieurs à 100 produits de deux entiers consécutifs. \(0,2,6,12,20,30,42,56,72,90\).
Il n'existe qu'un seul entier compris entre 2000 et 2011 : 2070.
\((44 \times 45=1980<2000 ; 45 \times 46=2070 ; 46 \times 47=2160>2100)\).
Soit \(k \in \mathbb{N} . k(k+1)=a \Leftrightarrow k^{2}+k-a=0\)

Comme \(k\) est un naturel, \(k=\frac{-1+\sqrt{1+4 a}}{2}\) ou \(2 k+1=\sqrt{1+4 a}\).