Exercice 1 — Promenade dans les aires — Olympiades 2011 Grenoble

Sujet

Une formule simple était utilisée par les arpenteurs Egyptiens pour évaluer l'aire d'un quadrilatère : « calculer le produit des moyennes des longueurs des côtés opposés» (formule A). Une autre formule demande de «calculer le demi produit des longueurs des diagonales » (formule B).

Il s'agit dans cet exercice d'étudier la validité de ces formules.

Pensez-vous qu'il soit possible de calculer la valeur exacte de l'aire d'un quadrilatère quelconque à l'aide des seules mesures de ses côtés? Justifier.
Trouver un quadrilatère pour lequel la formule A est exacte et un quadrilatère pour lequel elle ne l'est pas. Justifier les réponses.
Même question pour la formule B.
Quels sont les rectangles pour lesquels les deux formules donnent le même résultat?
Montrer que l'aire du quadrilatère est toujours inférieure ou égale au résultat trouvé à l'aide de la formule B. Dans quels cas l'égalité a-t-elle lieu?
Soient Q un quadrilatère quelconque et \(\mathrm{Q}^{\prime}\) le quadrilatère dont les sommets sont les milieux des côtés de Q .
a. Quelle est la nature du quadrilatère Q'? Démontrer ce résultat.
b. Comparer l'aire du quadrilatère Q' à celle de Q.
c. En déduire que l'aire du quadrilatère Q est toujours inférieure ou égale au résultat trouvé à l'aide de la formule A. Dans quels cas l'égalité a-t-elle lieu?

La connaissance des longueurs des quatre côtés d'un quadrilatère ne suffit pas à fixer son aire, il serait donc vain de chercher une formule générale ne faisant intervenir que les côtés. Par exemple, un carré de côté 5 et un losange de demi-diagonales 3 et 4 (donc de côté 5 ) ont les mêmes longueurs de côté, mais pas la même aire ( 25 pour le carré, 24 pour le losange).
Pour un rectangle de longueur \(L\) et de largeur \(\ell\), les côtés opposés sont de même mesure, la formule A donne donc \(\ell \times L\), ce qui est bien l'aire du rectangle.
Pour le trapèze ci-contre, la formule A donne le résultat :

\[ \frac{1+5}{2} \times \frac{3+5}{2}=3 \times 4=12 . \]

Son aire est en réalité : \(\frac{\text { Base }+ \text { base }}{2} \times h=\frac{5+1}{2} \times 3=3 \times 3=9\).
3. Pour un losange, la formule B donne un résultat exact.

Pour un rectangle de longueur 4 et de largeur 3 , les diagonales mesurent 5 , la formule B donne donc un résultat égal à 12,5 alors que l'aire vaut exactement 12 .