Sujet
La figure ci-contre représente le plan d'un jardin ABCD de forme carrée. 24 arbustes sont plantés sur le pourtour, un en chaque sommet, cinq autres sur chaque côté, régulièrement espacés.
Chaque ligne du plan est rectiligne et a pour extrémité deux arbustes, comme sur le dessin.
Les zones blanches sont les allées, les zones sablées sont des parterres de fleurs, le quadrilatère central (bleu) représente un bassin.
- Les lignes (AX) et (TJ) qui bordent une des allées sont-elles parallèles?
- Le bassin EFGH est-il carré?
- Les point K, E, M sont-ils alignés?
- \(\frac{D T}{D J}=\frac{4}{5}\) et \(\frac{D X}{D A}=\frac{5}{6}\). Donc (AX) et (JT) ne sont pas parallèles.
- EFGH est un carré.
Dans le repère orthonormal \((A, I, J)\), on a \((A X): y=\frac{6}{5} x ;(I C): y=\frac{6}{5} x-\frac{6}{5} ;(B Y): y=-\frac{5}{6} x+5\); \((W D): y=-\frac{5}{6} x+6\).
\[ E\left(\frac{150}{61}, \frac{180}{61}\right) ; F\left(\frac{186}{61}, \frac{150}{61}\right) ; G\left(\frac{216}{61}, \frac{186}{61}\right) ; H\left(\frac{180}{61}, \frac{216}{61}\right) . \]
- Les points \(\mathrm{K}, \mathrm{E}, \mathrm{M}\) ne sont pas alignés.
\((J T): y=\frac{5}{4} x+1 ;(U P): y=-\frac{4}{5} x+4: K\left(\frac{60}{41}, \frac{130}{41}\right) ;\)
\((V Q): y=\frac{5}{4} x-\frac{5}{2} ;(R S): y=-\frac{4}{5}(x-1)+6 ; M\left(\frac{186}{41}, \frac{130}{41}\right)\).