Exercice 1 — Les nombres complices

1. a.

Ce tableau permet de conjecturer que 0 est complice de tout entier et que tout entier \(a\) admet \(a+2\) et \(a-2\) comme complices.
b. 0 est complice de 2011 et plus généralement de tout entier \(a\) car \(0 \times a+1=1^{2}\). . L'entier 2013 est complice de 2011 car \(2013 \times 2011+1=4048144=2012^{2}\).
c. Soit \(a\) un entier supérieur ou égal à 3 .

Outre 0 , les nombres \(a-2\) et \(a+2\) sont complices de \(a\) car \(a(a-2)+1=(a-1)^{2}\) et \(a(a+2)+1=(a+1)^{2}\).
2. a. Soit \(n\) un entier non nul donné. Alors \((n-1)(n+1)+1=n^{2}\). Cela montre que \(n\) est associé au couple de complices \((n-1, n+1)\). Ce couple n'est pas unique, tout couple de diviseurs de \(n^{2}-1\) convient, comme par exemple \(\left(1, n^{2}-1\right)\).