Exercice 3 — Partages quasi-équitables

Sujet

Adrien veut partager ses billes entre plusieurs de ses amis (au moins deux), lui n'en gardant aucune. Il considère qu'un partage est quasi équitable si les nombres de billes reçus par deux amis quelconques ne diffèrent jamais de plus d'une unité. On appellera de tels partages des partages quasi équitables. Ainsi, s'il a sept billes et les partage entre deux de ses amis, le partage quasi équitable se fera obligatoirement en \(3+4\). S'il les partage entre trois amis, le partage quasi équitable se fera en \(2+2+3\). On considère comme identiques les partages \(3+2+2 ; 2+3+2\) et \(2+2+3\) et on écrira désormais chaque partage sous la forme d'une somme dont les termes sont rangés en ordre croissant.

Ecrivez les partages quasi équitables possibles des sept billes entre quatre amis, cinq amis, six amis, sept amis.
Combien existe-t-il de partages quasi équitables possibles s'il veut donner 8 billes, 9 billes, 10 billes?
Combien existe-t-il de partages quasi équitables possibles pour 2011 billes? Justifier votre réponse par une démonstration précise.

entre quatre amis : \(1+2+2+2\);
entre cinq amis : \(1+1+1+2+2\);
entre six amis : \(\quad 1+1+1+1+1+2\);
entre sept amis : \(\quad 1+1+1+1+1+1+1\).
Partages quasi-équitables de 8 billes :
\(4+4\)
\(2+3+3\)
\(2+2+2+2 ;\)
\(1+1+2+2+2\);
\(1+1+1+1+2+2\);
\(1+1+1+1+1+1+2\);
\(1+1+1+1+1+1+1+1\).
Partages quasi-équitables de 9 billes :
\(4+5\);
\(3+3+3 ;\)
\(2+2+2+3 ;\)
\(1+2+2+2+2\);
\(1+1+1+2+2+2\);
\(1+1+1+1+1+2+2\);
\(1+1+1+1+1+1+1+2\);
\(1+1+1+1+1+1+1+1+1\).
Partages quasi-équitables de 10 billes :
\(5+5\);
\(3+3+4\);
\(2+2+3+3 ;\)
\(2+2+2+2+2 ;\)