Exercice 2 — Racines millésimées

Sujet

On appelle partie entière d'un réel \(x\), notée \(E(x)\), le plus grand entier inférieur ou égal à \(x\), c'est-à-dire que l'on a : pour tout réel \(x, E(x) \leqslant x Par exemple : \(E(2,4)=2 ; E(-2,4)=-3 ; E(\sqrt{2})=1 ; E(5)=5\) et \(E(-\pi)=-4\).
Soit \(f\) la fonction définie pour tout réel \(x\) par : \(f(x)=x^{2}-46 E(x)+13\).
L'objet de cet exercice est la résolution de l'équation \(f(x)=0\) notée (1).

1. Déterminer la partie entière de \(\sqrt{2057}\), puis vérifier que ce réel est solution de l'équation \(f(x)=0\).
2. a. Montrer que le réel 1 n'est pas solution de l'équation \(f(x)=0\).
   b. Montrer que si \(x<1\) (dans ce cas \(E(x) \leqslant 0\) ), l'équation \(f(x)=0\) n'admet pas de solution.

On note \(p\) le trinôme défini pour tout réel \(x\) par \(p(x)=x^{2}+46 x+13\).
3. a. En utilisant l'inégalité \(E(x) \leqslant x\), montrer que pour tout réel \(x, p(x) \leqslant f(x)\).
b. En déduire que si \(x\) est un réel vérifiant \(p(x)>0\), alors le réel \(x\) n'est pas solution de l'équation \(f(x)=0\).
4. Pour tout réel \(x\), donner sous forme de tableau le signe de \(p(x)\).

En déduire que toute solution de \(f(x)=0\) est strictement inférieure à 46 .
5. a. Déduire de l'inégalité \(x-1 b. Montrer alors que toute solution de l'équation \(f(x)=0\) est strictement supérieure à 44 .
6. a. Quelles sont les valeurs possibles pour la partie entière des soutions de l'équation \(f(x)=0\) ?
b. En déduire que l'équation \(f(x)=0\) admet deux soutions, \(\sqrt{2057}\) et une autre \(\alpha\) dont on précisera la valeur exacte.