Exercice 1 — Les trois dés

Sujet

On lance trois fois de suite un dé non truqué dont les six faces sont numérotées \(1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5\) et 6 . Une issue de cette expérience aléatoire est donc un triplet \((a, b, c)\) où \(a\) est le résultat obtenu au premier lancer, \(b\) le résultat obtenu au second lancer et \(c\) le résultat obtenu au troisième lancer.

1. Déterminer le nombre d'issues possibles pour cette expérience aléatoire.
2. Si le résultat des trois lancers est le triplet ( \(a, b, c\) ), on considère l'équation \(a x^{2}+b x+c=0\), d'inconnue \(x\).
   Par exemple, si le résultat des trois lancers est \((3,5,3)\), on considère l'équation \(3 x^{2}+5 x+3=0\).
   a) 0 peut-il être une solution d'une équation \(a x^{2}+b x+c=0\) ?
   b) Justifier que quelque soit le triplet ( \(a, b, c\) ), l'équation \(a x^{2}+b x+c=0\) n'admet aucun nombre réel positif ou nul pour solution.
   c) Existe-t-il un triplet ( \(a, b, c\) ) pour lequel le nombre - 1 soit une solution de l'équation \(a x^{2}+b x+c=0\) ? Si oui donner un tel triplet \((a, b, c)\)
   Quelle est la probabilité de l'événement \(\ll-1\) est solution de l'équation obtenue après le lancer des trois dés » ?
3. On souhaite construire maintenant avec le triplet ( \(a, b, c\) ) obtenu le triangle (éventuellement aplati) dont les trois côtés ont pour mesures respectives \(a, b\) et \(c\). (le triplet ( \(b, c, a\) ) donne un autre triangle.)
   a) Parmi les résultats suivants, indiquer dans chaque cas si une telle construction est possible :

1. \((3,5,3)\)
2. \((2,5,2)\)
3. \((4,2,6)\)
4. \((6,3,5)\)
5. \((6,1,4)\)

On admet qu'il y a 156 triplets ( \(a, b, c\) ) permettant de réaliser la construction d'un triangle, et on suppose par la suite cette condition réalisée.
b) Quelle est la probabilité que le triangle construit soit équilatéral ?
c) Quelle est la probabilité que le triangle construit soit rectangle ?
d) Pierre pense qu'il est plus probable que le triangle obtenu soit isocèle plutôt que non isocèle. A-t-il raison?