Exercice 2 — Chasse au trésor

Sujet

Sur un terrain, symbolisé par quadrillage se trouve caché un trésor. Un chasseur de trésor fouille le terrain pour découvrir un trésor de pièces métalliques, enterré dans une des case (marquée d'un x sur l'exemple) à l'aide d'un détecteur à métaux.

Soit le détecteur est placé sur la bonne case et indique la présence du trésor dans celle-ci, soit s'il est placé sur une case où le trésor ne se trouve pas, il indique par des signaux sonores différents trois types de renseignements (voir figure 1)

• Il indique la présence du trésor dans une «zone \(\alpha \gg\) si celui-ci se trouve sur une des huit cases directement adjacentes.
• ou bien il indique la présence du trésor dans la «zone \(\beta\) » si celui-ci se trouve deux cases plus loin (voir l'exemple).
• ou bien il n'indique rien si le trésor est encore plus loin, et nous dirons alors qu'il est dans la « zone \(\gamma\) ».

Figure 1
Exemple sur un terrain de \(7 \times 7\) cases où \(X\) désigne la position du trésor.

Ainsi, lorsqu'il est au-dessus d'une case, le détecteur a quatre états possibles.
On cherche une stratégie permettant au chasseur de déterrer à coup sûr le trésor en un nombre de tentatives minimum.

1. On commence par un terrain de dimension \(5 \times 5\) et on repere les cases où les lettres indiquent les colonnes et les nombres indiquent les lignes (figure 2).

Figure 2

a. Reproduire et compléter le tableau suivant (figure 3) dans lequel on note, pour chaque case du terrain indiquée sur la première colonne du tableau, le nombre de cases se trouvant respectivement dans les zones \(\alpha, \beta, \gamma\). Par exemple, la zone \(\alpha\) de la case \(a 1\) est constituée des cases \(a 2, b 1\) et \(b 2\) qui sont donc au nombre de trois.