Exercice 1

1. \(841=29^{2}\), le nombre suivant sera donc \(31^{2}\) soit 961 .
2. Les nombres dont le carré a 1 pour chiffre des unités ont eux mêmes 1 ou bien 9 pour chiffre des unités; ce sont donc les nombres entiers de la forme \((10 n+1)^{2}\) ou de la forme \((10 n+9)^{2}\), où \(n\) désigne un entier naturel.
   Considérons la différence de deux carrés de ce type consécutifs.

• S'ils sont dans la même dizaine :

\[ (10 n+9)^{2}-(10 n+1)^{2}=(10 n+9+10 n+1)(10 n+9-10 n-1)=8(20 n+10)=80(2 n+1) \]

• S'ils ne sont pas dans la même dizaine :

\[ (10 n+11)^{2}-(10 n+9)^{2}=(10 n+11+10 n+9)(10 n+11-10 n-9)=2(20 n+20)=40(n+1) \]

Ainsi la différence de deux éléments de \(E\) est une somme de multiples de 40 donc elle-même un multiple de 40 .
3. Il y a 2 nombres dont le carré se termine par 1 dans une dizaine de 10 n à \(10 n+9\).
\(2010=2 \times 1005\). Donc dans les 1005 premières dizaines il y a 2010 nombres dont le carré se termine par 1.
Le \(2010^{\text {ème }}\) est \(10 \times 1004+9=10049\). Le \(2011^{\text {ème }}\) est 10051 .
Le \(2011{ }^{\text {ème }}\) élément de \(E\) est donc \(10051^{2}\).
4. Nous cherchons les carrés se terminant par 11. Ils sont de la forme \(100 N+11\) où \(N\) est un entier naturel. Supposons qu'il existe des entiers \(n\) et \(N\) tels que
\((10 n+1)^{2}=100 N+11 o u(10 n+9)^{2}=100 N+11\),
\((10 n+1)^{2}=100 N+11 \Leftrightarrow 100 n^{2}+20 n+1=100 N+11 \Leftrightarrow 10 n^{2}+2 n-100 N=1\),
\((10 n+9)^{2}=100 N+11 \Leftrightarrow 100 n^{2}+180 n+81=100 N+11 \Leftrightarrow 10 n^{2}+18 n-10 N=1\).
On aboutit à une absurdité, 1 n'étant pas pair.
Il n'existe donc pas d'entiers de \(E\) se terminant par 11.