Exercice 3 — Tous divisibles par 222. . . ou plus — Olympiades 2011 Clermont Ferrand

Sujet

En utilisant une seule fois chacun des trois chiffres 1,2 et 3 , écrire tous les nombres entiers naturels possibles de trois chiffres : \(123 ; 132 ; \ldots\) etc.

Faire la somme S de tous les nombres obtenus.
Vérifier que cette somme S est un multiple de 222 .

Reprendre la question avec trois chiffres non nuls et distincts deux à deux de votre choix.
La propriété découverte à la question 1) reste-t-elle vraie quels que soient les trois chiffres non nuls distincts deux à deux choisis? Justifier votre réponse.
On considère maintenant quatre chiffres non nuls et distincts deux à deux.

Énoncer et démontrer une propriété analogue.

On peut écrire 6 nombres à l'aide des chiffres 1,2 et 3 :

123-132-213-231-312 et 321 . La somme \(S\) obtenue est égale à 1332 . Or \(1332=6 \times 222\) ( 6 représentant \(1+2+3\) ).
2. En recommençant avec les chiffres 4, 7 et 9 par exemple, on a :
\(S=479+497+749+794+974+947\)
\(S=4440=20 \times 222\) ( 20 représentant \(4+7+9\) ). La propriété est encore vérifiée.
3. Justification :

On considère \(a, b\) et \(c\) trois chiffres non nuls et distincts deux à deux.
La somme \(S\) obtenue à l'aide des six nombres que l'on peut former est
\(S=200 a+200 b+200 c+20 a+20 b+20 c+2 a+2 b+2 c\)
Donc \(S=2(a+b+c)(100+10+1)\).
Par suite \(S=222 \times(a+b+c)\) et \(S\) est toujours divisible par 222.
4. On considère maintenant \(a, b, c\) et \(d\) quatre chiffres non nuls et distincts deux à deux.

On peut écrire 24 nombres à l'aide de ces 4 chiffres distincts.
La somme \(S\) obtenue à l'aide des 24 nombres sera égale à :
\(S=6(a+b+c+d)(1000+100+10+1)\).
D'où \(S=6666 \times(a+b+c+d)\)

La somme \(\mathbf{S}\) des nombres que l'on peut former avec quatre chiffres non nuls et distincts deux à deux est toujours un multiple de 6666 . S est le produit de 6666 par la somme des quatre chiffres utilisés.