Exercice 2 — L'élection du consul de l'Empereur — Olympiades 2011 Clermont Ferrand

Sujet

Sur la planète Xycha, le Grand Conseil se réunit pour élire, en son sein, le consul de l'Empereur : plusieurs prétendants, d'âges deux à deux distincts, sont en présence. Chaque conseiller vote pour un prétendant et un seul : il n'y a ni abstention, ni bulletin blanc.
Un prétendant est élu au premier tour lorsqu'il obtient au moins \(50 \%\) des voix. En cas d'égalité le plus jeune est élu. Sinon un second tour sera nécessaire.

Vrai ou faux : dire pour chaque affirmation si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse.
a. Si un seul prétendant se présente alors un second tour n'est pas nécessaire.
b. Si deux prétendants se présentent alors un second tour n'est pas nécessaire.
c. Si trois prétendants se présentent alors un second tour n'est pas nécessaire.

On suppose désormais que le nombre de prétendants en présence est supérieur ou égal à trois.
2. Chaque prétendant en présence au premier tour réunit exactement deux fois moins de voix que celui qui lui est immédiatement supérieur. Un deuxième tour sera-t-il nécessaire?
3. Chaque prétendant en présence réunit exactement les trois quarts des voix de celui qui lui est immédiatement supérieur. Un deuxième tour sera-t-il nécessaire?
On pourra utiliser la formule :
Pour tout entier naturel non nul \(n\) et tout réel \(q \neq 1,1+q+q^{2}+\cdots+q^{n}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\).

a. Vrai : l'unique prétendant obtient \(100 \%\) des voix.
b. Vrai : si chacun des deux prétendants obtenait strictement moins de \(50 \%\) des voix, la somme des deux ne serait pas égale à \(100 \%\). Donc l'un des deux a recueilli au moins \(50 \%\) des voix. En cas d'égalité le plus jeune est élu.
c. Faux : les trois prétendants peuvent par exemple obtenir 14,10 et 8 voix dans un conseil de 32 personnes.
Soit \(n\) le nombre de prétendants et \(p\) le nombre de voix obtenues par le meilleur des prétendants. Ainsi le prétendant classé \(2^{\text {nd }}\) a recueilli \(\frac{p}{2}\) voix, le prétendant classé \(3^{\text {ème }} \frac{p}{2^{2}}\) voix, le \(n^{\text {ième }}\) prétendant \(\frac{p}{2^{n-1}}\) voix. Le nombre total de voix, qui est égal à l'effectif \(N\) du conseil, est donc :

\[ N=p+\frac{p}{2}+\frac{p}{2^{2}}+\cdots+\frac{p}{2^{n-1}}=p \times\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}\right)=p \times \frac{1-\frac{1}{2^{n}}}{1-\frac{1}{2}}=p\left(2-\frac{1}{2^{n-1}}\right)<2 p(n \geqslant 3) \]

Le pourcentage de voix obtenues par le meilleur prétendant est \(\frac{p}{N}>\frac{1}{2}\).
Le meilleur prétendant a obtenu plus de \(50 \%\) des voix : il est élu au premier tour.
3. Soit \(n\) le nombre de prétendants et \(p\) le nombre de voix obtenues par le meilleur des prétendants. Ainsi le prétendant classé \(2^{\text {nd }}\) a recueilli \(\frac{3}{4} p\) voix, le prétendant classé \(3^{\text {ème }}\left(\frac{3}{4}\right)^{2} p\) voix, \(\ldots\), le \(n^{\text {ième }}\)