Olympiades · Académie Clermont Ferrand · 2011 · Toutes séries
NumérationSuites / Algorithmique
On appelle code un nombre à quatre chiffres choisis dans la liste \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\), chaque chiffre pouvant être répété à l'intérieur d'un même code.
Par exemple 1903 et 8855 sont des codes possibles, l'écriture générale étant \(\overline{a b c d}\) (on met un trait au dessus pour ne pas confondre l'écriture du nombre avec le produit \(a \times b \times c \times d\) )
À ce code est associée une clé \(C\) calculée à l'aide de l'algorithme suivant :
| Entrée | \(N\) est le code à quatre chiffres |
| Initialisation : | Affecter à \(P\) la valeur de \(N\) |
| Affecter à \(S\) la valeur 0 | |
| Traitement : | |
| Pour \(K\) de 1 à 4 , faire Affecter à \(U\) le chiffre des unités de \(P\) Si \(K\) est pair alors affecter à \(S\) la valeur \(S+(K+3) \times U\) sinon affecter à \(S\) la valeur \(S+(K+1) \times\) | |
| Sortie : | Afficher \(C\) |
Le code et sa clé constituent un identifiant permettant l'ouverture d'une salle confidentielle.
L'accès à la salle lui est refusé.
La personne est sûre des trois derniers chiffres du code et de la clé, l'erreur porte sur le premier chiffre du code (qui n'est donc pas égal à 4 ). Quel est ce premier chiffre ?
3. Est-il vrai que toutes les personnes ayant un code de la forme \(\overline{a b b a}\) ont pour clé 9 ? ( \(a\) et \(b\) sont des entiers tels que \(0 \leqslant a \leqslant 9\) et \(0 \leqslant b \leqslant 9\) )
4. Déterminer les couples ( \(c ; d\) ) d'entiers tels que les codes de la forme \(\overline{c c d d}\) soient associés à la clé 4 . ( \(c\) et \(d\) sont des entiers tels que \(0 \leqslant c \leqslant 9\) et \(0 \leqslant d \leqslant 9\) )
1.
| \(U\) | \(S\) | \(P\) | |
| 0 | 2282 | ||
| \(\mathrm{~K}=1\) | 2 | \(0+2 \times 2=4\) | 228 |
| \(\mathrm{~K}=2\) | 8 | \(4+5 \times 8=44\) | 22 |
| \(\mathrm{~K}=3\) | 2 | \(44+4 \times 2=52\) | 2 |
| \(\mathrm{~K}=4\) | 2 | \(52+7 \times 2=66\) | 0 |