Exercice 2 — Mélanges de cartes

Sujet

Le principe du «mélange parfait», en magie des cartes, consiste tout d'abord à couper le jeu en 2 paquets contenant le même nombre de cartes; on procède ensuite au mélange en intercalant exactement les cartes de chacun des paquets (c'est un geste extrêmement difficile qui nécessite, bien évidemment, beaucoup de pratique...).

Exemple de «mélange parfait» avec un jeu de 6 cartes ( la première est l'as de pique et la sixième est le 6 de pique ) :

Figure 1 jeu de départ

Figure 2
division en 2 paquets de trois cartes

Figure 3 cartes intercalees

Figure 4 fin du melange

1. a. Quelle sera la position des 6 cartes de l'exemple précédent après un deuxième mélange parfait ?
   b. En combien de mélanges identiques les cartes reviendront-elles à leur position initiale?

On utilisera pour la suite la notation suivante : \(U_{k}(x)\) est l'entier indiquant la position, après \(k\) mélanges, de la carte située en \(x^{i e ̀ m e}\) position du jeu de départ.
Ainsi, dans le mélange de 6 cartes de la question précédente \(U_{1}(2)=3\) signifie que la carte en \(2^{\text {ième }}\) position en comptant à partir de la gauche du jeu de départ (le 2 de pique, Fig1) est, après un mélange parfait, en \(\mathscr{Y}^{\text {ième }}\) position (Fig 4).
2. a. Que vaut \(U_{1}(2)\) ? \(U_{2}(2)\) ?
b. Quelle est la valeur minimum de l'entier \(k\) strictement positif pour que \(U_{k}(2)=2\) ?
3. Dans cette question, on considère un jeu de \(2 n\) cartes, où \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à 1 .
a. Après un mélange, à quelle position se trouvent la première et la dernière carte?
b. Quelle sera la position \(U_{1}(x)\) après un mélange parfait, d'une carte située à la position \(x\) au départ? Indication : on pourra raisonner sur deux paquets (premier paquet avec \(1 \leqslant x \leqslant n\) second paquet avec \(n+1 \leqslant x \leqslant 2 n\) )
c. Verifier les réponses obtenues à la question 3a.
4. Dans cette question, on utilise un jeu de 8 cartes. On étudie les positions successives de la carte située en \(2^{\text {ème }}\) position au départ.
a. En combien de mélanges revient-elle à sa position initiale?
b. Vérifier que le même nombre de mélanges ramène également la carte située au départ en \(3^{\text {ème }}\) position, à sa position initiale.