Exercice 1 — Calcul en base 8 — Olympiades 2011 Caen

Sujet

Yohann, d'un naturel original, aime écrire les entiers sans utiliser les chiffres 8 et 9 . Pour cela, il a l'habitude de décomposer un nombre en utilisant les puissances de 8 .

Exemple : \(1659=\mathbf{3} \times 8^{3}+\mathbf{1} \times 8^{2}+\mathbf{7} \times 8+\mathbf{3}\).
On dit que le nombre 1659 a pour écriture \(\overline{3173}\) en base 8 .(1659 est son écriture en base 10).
De même : \(508=\mathbf{7} \times 8^{2}+\mathbf{7} \times 8+\mathbf{4}\) donc le nombre 508 a pour écriture \(\overline{774}\) en base 8 .
Réciproquement : le nombre \(\overline{131}\) écrit en base 8 devient \(\mathbf{1} \times 8^{2}+\mathbf{3} \times 8+\mathbf{1}=89\) en base 10 .
D'une manière générale, dire que l'entier \(x\) a pour écriture \(\overline{a_{n} a_{n-1} \ldots a_{2} a_{1} a_{0}}\) en base 8 signifie que \(x=a_{n} \times 8^{n}+a_{n-1} \times 8^{n-1}+\cdots+a_{2} \times 8^{2}+a_{1} \times 8+a_{0}\) où \(a_{n}, a_{n-1}, \ldots a_{2}, a_{1}\) et \(a_{0}\) sont des entiers naturels strictement inférieurs à 8 .

a. Déterminer l'écriture en base 8 du nombre 1044.
b. Déterminer l'écriture en base 10 du nombre \(\overline{5432}\).
A la manière de Yoann, poser et effectuer les calculs suivants en base 8 :

\[ \overline{131}+\overline{774} ; \overline{3123}-\overline{131} ; \overline{131} \times \overline{774} \]

a. \(N\) est un naturel dont l'écriture en base 8 est \(\overline{12345676543210}\).
\(N\) est-il divisible par 8 ?
b. Soit \(x\) un entier naturel et \(x=\overline{a_{n} a_{n-1} \ldots a_{2} a_{1} a_{0}}\) son écriture en base 8 .

Quelles sont les valeurs possibles de \(a_{0}\) pour que \(x\) soit divisible par 4 ?
c. Le nombre \(N\) défini en a. est-il divisible par 4 ?
4. a. En remarquant que pour tout entier \(k \geqslant 1\), le reste dans la division par 7 de \(8^{k}\) est toujours 1 , déterminer le critère de divisibilité par 7 d'un entier naturel \(x\) écrit en base 8 .
b. Le nombre \(N\) défini à la question 3a. est-il divisible par 7 ?

a. \(1044=2 \times 8^{3}+0 \times 8^{2}+2 \times 8^{1}+4\) donc \(1044=\overline{2024}\).
b. \(\overline{5432}=5 \times 8^{3}+4 \times 8^{2}+3 \times 8^{1}+2=2842\)
\(\overline{131}+\overline{774}=\overline{1125}\)
\(\overline{3123}-\overline{131}=\overline{2772}\).
\(\overline{131} \times \overline{774}=\overline{130234}\).
a. Pour tout entier \(k, 8\) divise \(8^{k}\) donc un nombre est divisible par 8 lorsque son chiffre des unités en base 8 est 0 donc \(N\) est divisible par 8 .
b. 4 divise 8 donc, pour tout \(k \geqslant 1,4\) divise \(8^{k}\) donc 4 divise \(x\) si et seulement si \(a_{0}=0\) ou \(a_{0}=4\). Un nombre est divisible par 4 si et seulement si le chiffre des unités dans sa décomposition en base 8 est 0 ou 4 .