Sujet
ABC est un triangle équilatéral. On se propose de construire le point P intérieur au triangle tel que \(P B=\frac{1}{2} P A\) et \(P C=\frac{\sqrt{3}}{3} P A\)
Première partie
On suppose que le point P placé sur la figure satisfait à ces deux conditions.
On désigne par \(r\) la rotation de centre C et d'angle \(60^{\circ}\). Q est l'image de P par \(r\).
- Démontrer que le triangle BPQ est rectangle en P . En déduire que le triangle BQC est rectangle en Q , puis que le point P est sur le cercle de diamètre [AC].
- I est le milieu de [BQ], J celui de [AB]
a. Démontrer que le triangle PIC est rectangle en P. En déduire l'alignement des points \(\mathrm{A}, \mathrm{P}\) ei I .
b. Justifier que P est le centre de gravité du triangle ABQ . En déduire l'alignement des points \(\mathrm{Q}, \mathrm{P}\) et J .
[0pt] c. Justifier que le point P est sur le cercle de diamètre [BJ].
Deuxième partie
ABC triangle équilatéral. J milieu de \([\mathrm{AB}] . \mathrm{P}\) le point d'intersection, autre que J, des cercles de diamètre[AC] et [BJ].
Q est l'image de P par la rotation \(r\) de centre C et d'angle \(60^{\circ}\).
On se propose de prouver que P vérifie bien les deux conditions \(P B=\frac{1}{2} P A\) et \(P C=\frac{\sqrt{3}}{3} P A\).
- Montrer que \(\widehat{J P A}=30^{\circ}\); en déduire \(\widehat{B P A}\) et \(\widehat{B P C}\). En déduire la nature du triangle BPQ .
- Justifier que le triangle BQC est rectangle en Q. En déduire \(\widehat{B Q P}\).
- En déduire que le point P vérifie les deux conditions requises.
Première partie
- \(r\) conservant les distances, \(A P=B Q\). Or \(B P^{2}+P Q^{2}=B P^{2}+P C^{2}=\frac{1}{4} P A^{2}+\frac{3}{4} P A^{2}=P A^{2}= B Q^{2}\). Le triangle BPQ est donc rectangle en \(\mathrm{P} . \mathrm{Q}\) est donc sur le cercle de diamètre [BC]. Par la