Exercice 1 — Énoncé — Olympiades 2011 Bordeaux

Sujet

Le plan est rapporté à un repère ( \(O, \vec{i}, \vec{j}\) ).
Une fourmi se promène sur ce plan de la façon suivante : lorsqu'elle repart d'un point de coordonnées ( \(x ; y\) ) où elle était arrêtée, elle marche en ligne droite jusqu'au point de coordonnées ( \(-3 x-y ; 7 x+k y\) ) où \(k\) est un nombre entier fixé pour toute la promenade.

On prend \(k=1\)
a. La fourmi part du point \(\mathrm{A}(1 ; 1)\) et fait trois déplacements. Dessiner son trajet. Sur quel point arrive-t-elle?
b. De quel point doit partir la fourmi pour arriver en trois déplacements sur le point \(\mathrm{B}(16 ; 0)\) ?
Sur quel point doit se placer la fourmi pour ne pas bouger quelle que soit la valeur de \(k\) ?
On prend \(k=2\).
a. La fourmi part du point \(\mathrm{A}(1 ; 1)\) et fait trois déplacements.

Dessiner son trajet. Sur quel point arrive-t-elle?
b. Est-ce que la fourmi revient toujours à son point de départ au bout de trois déplacements?
4. Pour quelle(s) valeur(s) de \(k\) la fourmi se retrouve t-elle à son point de départ en trois déplacements quel que soit son point de départ?

a. \(\mathrm{A}(1 ; 1) \rightarrow \mathrm{B}(-4 ; 8) \rightarrow \mathrm{C}(4 ;-20) \rightarrow \mathrm{D}(8 ; 8)\)
b. \(\mathrm{D}(16 ; 0) \leftarrow \mathrm{C}(4 ;-28) \leftarrow \mathrm{B}(-6 ; 14) \leftarrow \mathrm{A}(2 ; 0)\)
\(\left\{\begin{array}{l}-3 x-y=x \\ 7 x+k y=y\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=-2 x \\ x(2 k+9)=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=0\end{array}\right.\right.\right.\)
a. \(\mathrm{A}(1 ; 1) \rightarrow \mathrm{B}(-4 ; 9) \rightarrow \mathrm{C}(3 ;-10) \rightarrow \mathrm{D}(1 ; 1)\)
b. \(\mathrm{A}(x ; y) \rightarrow \mathrm{B}(-3 x-y ; 7 x+2 y) \rightarrow \mathrm{C}(2 x+y ;-7 x-3 y) \rightarrow \mathrm{D}(x ; y)\)
\(\mathrm{A}(x ; y) \rightarrow \mathrm{B}(-3 x-y ; 7 x+k y) \rightarrow \mathrm{C}\left(2 x+(3-k) y ; 7 x(k-3)+y\left(k^{2}-7\right)\right.\)
\(\rightarrow \mathrm{D}\left(x(-7 x+15)+y\left(-k^{2}+3 k-2\right) ; 7 x\left(k^{2}-3 k+2\right)+y\left(k^{3}-14 k+21\right)\right)\)
\(\mathrm{A}=\mathrm{D}\) pour toute valeur de \(k\) nécessitant \(-7 k+15=1\), donc \(k=2\) et on sait que cette condition suffit pour que \(\mathrm{A}=\mathrm{D}\).
2 est donc la seule valeur répondant à la question.