Sujet
Dans cet exercice, on estimera la circonférence de la Terre à 40000 km . On tend une corde tout autour de la Terre (celle-ci est supposée ici parfaitement sphérique).
Question 1 (cf. Fig.1) De quelle longueur fautil allonger la corde pour pouvoir à présent la fixer au sommet de piquets d'un mètre de haut répartis tout autour de la Terre (on suppose que la forme de la corde reste circulaire).
Figure 1
igure 2
Question 2 (cf Fig.2) La corde ayant été ainsi rallongée, on décide de supprimer les piquets et de tendre à nouveau la corde autour de la terre. On arrime alors la corde au sommet d'une tour. Quelle est la hauteur de la tour, sachant qu'aux points de contact A et B , la corde est tangente au cercle?
Indications pour la question 2 : On notera O le centre du cercle, S le sommet de la tour et \(\theta\) la moitié de l'angle au centrte \(\widehat{A O B}\).
[0pt]
a. Calculer la longueur de chacun des segments [AS] et [SB] en fonction de \(\theta\).
b. Calculer en fonction de \(\theta\) la longueur de l'arc de cercle d'extrémités A et B où la corde reste en contact avec la terre.
c. En déduire une équation vérifiée par l'angle \(\theta\).
d. On admettra que l'angle \(\theta\) est suffisamment petit pour utiliser l'approximation : \(\tan (\theta)-\theta \approx \frac{\theta^{3}}{3}\). En déduire, à l'aide de votre calculatrice, une valeur approchée de l'angle \(\theta\) et finir l'exercice.
Question 1. En notant \(R\) le rayon terrestre (exprimé en mètres), \(\ell_{1}\) la longueur de la corde initiale et \(\ell_{2}\) la longueur de la corde finale, il vient : \(\ell_{2}-\ell_{1}=2 \pi(R+1)-2 \pi R=2 \pi\) soit environ \(6,28 \mathrm{~m}\).
Question 2. La difficulté de l'exercice vient du fait qu'il faut raisonner en deux temps : d'abord déterminer une équation permettant de déterminer l'angle au centre (dont la solution s'obtient par l'approximation donnée dans l'énoncé); puis déterminer la hauteur de la tour par de la trigonométrie élémentaire.
En notant O le centre du cercle, S le sommet de la tour et \(\theta\) la moitié de l'angle au centre, il vient que la longueur \(\ell_{2}=2 \pi(R+1)\) de la corde (après allongement) s'écrit aussi comme la somme de ( \(2 \pi-\theta\) ) \(R\) pour la partie qui va coller à la terre et de \(2 R \times \tan (\theta)\) pour la partie constituée des segments [AS] et [SB].
D'où l'égalité : \(2 \pi(R+1)=(2 \pi-2 \theta) R+2 R \times \tan (\theta)\), d'où il résulte que \(\tan (\theta)-\theta=\frac{\pi}{R}\) (1)
En utilisant l'approximation donnée dans l'énoncé, il vient \(\frac{\theta^{3}}{3} \approx \frac{\pi}{R}\) soit \(\theta \approx \sqrt[3]{\frac{3 \pi}{R}}\) soit \(\theta \approx 0,0114\).
En notant \(x\) la hauteur de la tour, il vient, en raisonnant dans le triangle SOA :
\[ \cos (\theta)=\frac{O A}{O S}=\frac{R}{x+R} \text { d'où } x=\left(\frac{1}{\cos (\theta)}-1\right) \]
et donc, après calcul, \(x \approx 413\). La hauteur de la tour est donc d'environ 413 mètres.
Remarque : En passant par la résolution numérique (Maple) de l'équation (1) sans tenir compte du développement limité de tan, on obtient une hauteur de tour d'environ \(413,48 \mathrm{~m}\).