Exercice 6 — Énoncé — Olympiades 2011 Amiens

Sujet

a. Montrer que \(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\).
b. A quelle condition sur \(p\) et \(q\) a-t-on l'égalité (E) : \(\frac{1}{\sqrt{p}+\sqrt{q}}=\sqrt{p}-\sqrt{q}\) ?

Dans ce cas, écrire l'égalité (E) obtenue uniquement en fonction de \(q\).
2. Déterminer le plus petit entier naturel \(n\) tel que:

\[ \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} \geqslant 100 . \]

a. On a \((\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=\sqrt{3}^{2}-\sqrt{2}^{2}=3-2=1\), donc \(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\).
b. On a : \(\frac{1}{\sqrt{p}+\sqrt{q}}=\sqrt{p}-\sqrt{q} \Leftrightarrow(\sqrt{p}+\sqrt{q})(\sqrt{p}-\sqrt{q}) \Leftrightarrow 1=\sqrt{p}^{2}-\sqrt{q}^{2} \Leftrightarrow 1=p-q\).

Il faut donc que \(p=q+1\). On reporte dans l'égalité (E),
ce qui donne \(\frac{1}{\sqrt{q+1}+\sqrt{q}}=\sqrt{q+1}-\sqrt{q}\).
2. On a: \(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\)

\[ =\sqrt{\nsupseteq}-\sqrt{1}+\sqrt{\not \beta}-\sqrt{\not \partial}+\sqrt{\not \mu}-\sqrt{\not \partial}+\cdots+\sqrt{n+1}-\sqrt{\not n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{1}=\sqrt{n+1}-1 . \]

Ensuite \(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{ }+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} \geqslant 100 \Leftrightarrow \sqrt{n+1}-1 \geqslant 99\)

\[ \Leftrightarrow n+1 \geqslant 99^{2} \Leftrightarrow 99^{2}-1=9800 \]

Il faut donc que \(n\) soit supérieur ou égal à 9800 .