Exercice 5

1. Pour \(n=0\), on a \(\frac{\left(8^{1}+8^{0}\right)^{2}}{\left(4^{0}-4^{1}\right)^{3}}=\frac{9^{2}}{\left(\frac{3}{4}\right)^{3}}=\frac{3^{4} \times 4^{3}}{3^{3}}=3 \times 4^{3}=192\).

Pour \(n=1\), on a \(\frac{\left(8^{2}+8^{1}\right)^{2}}{\left(4^{1}-4^{0}\right)^{3}}=\frac{72^{3}}{3^{3}}=192\).
Pour \(n=2\), on a \(\frac{\left(8^{3}+8^{2}\right)^{2}}{\left(4^{2}-4^{1}\right)^{3}}=\frac{576^{2}}{12^{3}}=192\).
Pour \(n=3\), on a \(\frac{\left(8^{4}+8^{3}\right)^{2}}{\left(4^{3}-4^{2}\right)^{3}}=\frac{4608^{2}}{48^{3}}=192\).
2. On a :
\(\frac{\left(8^{n+1}+8^{n}\right)^{2}}{\left(4^{n}-4^{n-1}\right)^{3}}=\frac{\left(8^{n}(8+1)\right)^{2}}{\left(4^{n-1}(4-1)\right)^{3}}=\frac{\left(8^{n}\right)^{2} \times 9^{2}}{\left(4^{n-1}\right)^{3} \times 3^{3}}=\frac{8^{2 n} \times 3^{4}}{4^{3(n-1)} \times 3^{3}}=\frac{2^{6 n} \times 3}{2^{6(n-1)}}=\frac{3}{2^{-6}}=2^{6} \times 3=192\).
Donc le résultat est bien valable pour tout entier naturel \(n\).