Sujet
La Cigale, chantant tout l'été, part tous les matins du sommet A d'un cube (où elle habite) et se déplace d'un sommet à l'autre, en empruntant à chaque sommet, une autre arête au hasard.
Pour varier ses inspirations musicales, la Cigale ne repasse jamais par une arête déjà empruntée (même dans le sens inverse), mais peut repasser par un sommet déjà emprunté.
Partie I - Une courte promenade d'été
On étudie le cheminement de la Cigale sur 4 sommets consécutifs. Une promenade est codée par la donnée dans l'ordre des sommets atteints : ABCD, ADCG, . . .- Déterminer toutes les promenades possibles de la Cigale (on pourra s'aider d'un arbre).
Promenade
2. a. Quelle est la probabilité qu'elle finisse sa promenade chez elle en A ?
b. Quelle est la probabilité qu'elle finisse sa promenade chez sa voisine la Fourmi en G ?
Partie II : «La Cigale, ayant chanté tout l'été, se trouva fort dépourvu quand la bise fut venue :
Pas un seul petit morceau de mouche ou de vermisseau. Elle alla crier famine chez la fourmi sa voisine (en G ), la priant de lui prêter quelque grain pour subsister jusqu'à la saison nouvelle... »
La Cigale (qui part de A) n'a pas le sens de l'orientation et se déplace toujours au hasard sur les arêtes du cube comme en été, sans emprunter un chemin par lequel elle est déjà passée. Elle continue ainsi son chemin jusqu'à ce qu'elle arrive chez la Fourmi ou qu'elle se trouve bloquée...
- Lors de son excursion sur le cube, la Cigale peut-elle passer trois fois par un même sommet?
- Dans la suite de l'exercice, on suppose que la Cigale commence par se rendre en B. Déterminer alors tous les chemins possibles de la Cigale.
- La Cigale a-t-elle plus de chance de se retrouver bloquée sans pouvoir avancer ou de trouver la maison de la Fourmi en G ?
Aucun corrigé disponible pour cet exercice dans la source APMEP.