Olympiades · Académie Amiens · 2011 · Toutes séries
Équations / Fonctions
Combien de solutions réelles négatives l'équation \(x^{4}-5 x^{3}-4 x^{2}-7 x+4=0\) possède-t-elle?
On pourra étudier les variations d'une certaine fonction . . . et utiliser la calculatrice.
On pose \(f(x)=x^{4}-5 x^{3}-4 x^{2}-7 x+4\)
On dérive, ce qui donne : \(f^{\prime}(x)=4 x^{3}-15 x^{2}-8 x-7\).
On dérive à nouveau : \(f^{\prime \prime}(x)=12 x^{2}-30 x-8\). On cherche à factoriser \(f^{\prime \prime}(x)\).
On calcule le discriminant : \(\Delta=b^{2}-4 a c=(-30)^{2}-4 \times 12 \times(-8)=900+384=1284>0\).
Donc \(f^{\prime \prime}(x)\) admet deux racines qui sont :
\[ x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}=\frac{30-\sqrt{1284}}{24} \approx-0,24 \text { et } x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}=\frac{30+\sqrt{1284}}{24} \approx 2,74 . \]
On obtient le tableau de variation suivant :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(x_{1}\) | \(x_{2}\) | \(+\infty\) | |||
| \(f^{\prime \prime}(x)\) | + | 0 | - | 0 | + | ||
| \(f^{\prime}(x)\) | \(y_{1}\) | \(+\infty\) | |||||
| \(-\infty\) | \(y_{2}\) |
A l'aide de la calculatrice, on a \(y_{1} \approx-6\). Par conséquent la fonction \(f^{\prime}\) ne s'annule qu'une seule fois pour un réel \(x \in\left[x_{2} ;+\infty\left[\right.\right.\). Encore avec la calculatrice, on obtient \(x_{3} \approx 4,31\).
On obtient finalement le tableau de variation suivant :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(x_{3}\) | \(+\infty\) | ||
| \(f^{\prime}(x)\) | - | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
A l'aide de la calculatrice, on a \(y_{1} \approx-156\). par conséquent, la fonction \(f\) s'annule une fois pour un réel \(\left.\alpha \in]-\infty ; x_{3}\right]\) et une fois pour un réel \(\beta \in\left[x_{3} ;+\infty[\right.\).
Or, \(f(0)=4\); donc nécessairement \(\alpha>0\) (car \(f\) est décroissante sur ] \(\left.-\infty ; x_{3}\right]\) )
L'équation \(f(x)=0\) n'admet donc aucune solution réelle négative.!