Exercice 4

Le premier exercice est, bien entendu, très classique.
Soit \(x\) le prix d'un kilogramme de vernis, et \(y\) est le prix d'un litre de cire, il s'agit de résoudre le système :

\[ \left\{\begin{array}{l} 6 x+4 y=95 \\ 3 x+3 y=55,5 \end{array}\right. \]

Le système admet une solution unique : \(10,5=x\) et \(8=y\).
Ainsi, 4 kilogrammes de vernis et 5 litres de cire coûtent \(4 \times 10,5+5 \times 8=\mathbf{8 2}\) euros.
Considérons le deuxième énoncé.
Soit \(a\) le prix d'un pot de peinture, \(b\) le prix d'un rouleau de papier peint et \(c\) le prix d'un pot de colle.
Il s'agit de trouver \(a+b+c\) sachant que \(\left\{\begin{array}{l}5 a+3 b+7 c=49\left(L_{1}\right) \\ 4 a+5 b+3 c=60\left(L_{2}\right)\end{array}\right.\)

Première solution :

On constate que \(\left(L_{1}+2 L_{2}\right)\) s'écrit \(13 a+13 b+13 c=169\). Il vient : \(a+b+c=13\).

Deuxième solution :

On écrit le système sous la forme : \(\left\{\begin{array}{l}5 a+3 b=49-7 c \\ 4 a+5 b=6-3 c\end{array}\right.\), ce qui permet d'obtenir, après résolution, \(a=5-2 c\) et \(b=8+c\).
Des lors, \(a+b+c=(5-2 c)+(8+c)+c=5-2 c+8+c+c=13\).
Ainsi, 1 pot de colle, 1 pot de peinture et 1 rouleau de papier peint coûtent 13 euros.

AMÉRIQUES - CARAÏBES

Premier exercice

Toutes séries
Découpage d'un triangle

Énoncé

Partie A

Soit ABC un triangle rectangle en B , tel que l'angle en A mesure \(60^{\circ}\). On supposera de plus que l'aire du triangle ABC est 2.

1. Justifier que la longueur \(A B\) vaut \(\frac{2}{\sqrt{\sqrt{3}}}\)

On propose ci-dessous trois découpages, le long d'une ligne en pointillé, du triangle ABC en deux parties de même aire :

Dans les découpages 1 et 2 , les lignes (en pointillé) [ DE ] et \([\mathrm{BF}]\) sont des segments.
Dans le découpage 3, la ligne (en pointillé) \(\wideparen{\mathrm{GH}}\) est un arc de cercle de centre A .
[0pt] 2. Déterminer les longueurs des segments [DE] et [BF], et la longueur de l'arc \(\wideparen{\mathrm{GH}}\).

Parmi ces trois lignes, quelle est la plus courte?
3. Proposer un autre découpage du triangle ABC en deux parties de même aire par une ligne de longueur inférieure aux trois lignes précédentes.

Partie B

Deux demi-droites d'origine A forment un angle aigu \(\alpha\).
Sur les trois figures ci-dessous, la ligne en pointillé délimite entre les demi-droites une surface d'aire de mesure 1.

Les lignes (en pointillé) de longueur \(f\) et \(g\) sont des segments, la ligne de longueur \(h\) est un arc de cercle de centre A.

AMÉRIQUES - CARAÏBES

Deuxième exercice

Toutes séries

Les k-nombres

Énoncé

Pour un entier \(k \geqslant 2\) fixé, on appelle \(k\)-nombre tout entier relatif \(N\) pouvant s'écrire sous la forme

\[ N=1 \pm 2 \pm \cdots \pm k \]

Par exemple, si \(k=2\), les \(2=\) nombres sont

\[ 1-2=-1 \text { et } 1+2=3 \]

tandis que si \(k=3\), les 3 -nombres sont

\[ 1-2-3=-4,1+2-3=0,1-2+3=2 \text { et } 1+2+3=6 . \]

Dans cet exercice, on pourra utiliser, sans démonstration, le résultat suivant :

\[ 1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2} \]

1. a. Donner la liste des 4-nombres, rangés par ordre croissant.
   b. L'entier 11 est-il un 5 -nombre ?
2. a. Exprimer en fonction de \(k\) le plus grand \(k\)-nombre et le plus petit \(k\)-nombre.
   b. Quel est le plus petit entier \(k \geqslant 2\) tel que 51 soit un \(k\)-nombre.
3. a. Pour un entier \(k \geqslant 2\) fixé, montrer que tous les \(k\)-nombres ont la même parité.
   b. Déterminer les entiers \(k \geqslant 2\) pour lesquels les \(k\)-nombres sont impairs.
4. Pour \(k=2\) et \(k=3\), on peut remarquer que l'écriture de tout \(k\)-nombre \(N\) sous la forme \(N=1 \pm 2 \pm \cdots \pm k\) est unique.
   a. Préciser toutes les valeurs de \(k\) pour lesquelles cela est le cas.
   b. Peut-on trouver un entier \(k\) pour lequel il existe un \(k\)-nombre \(N\) admettant au moins 2011 écritures différentes sous la forme \(N=1 \pm 2 \pm \cdots \pm k\) ?