Exercice 3 — Énoncé — Olympiades 2011 Aix-Marseille

Sujet

À partir d'un nombre donné, on construit une suite de nombres de la façon suivante : chaque nombre est la somme des carrés des chiffres du nombre précédent.

Ainsi, si le premier nombre est 2332 011,
le deuxième nombre est \(2^{2}+3^{2}+3^{2}+2^{2}+0^{2}+1^{2}+1^{2}=28\)
le troisième nombre est \(2^{2}+8^{2}\) et ainsi de suite...
Calculer le \(2011{ }^{\text {ème }}\) nombre de cette suite.
2. Calculer le \(2011{ }^{\text {ème }}\) nombre de la suite obtenue en partant du nombre 1248.

Voici la liste des premiers nombres obtenus en partant de 2332011 :

1	2	3	4	5	6
2332011	28	68	100	1	1

La suite obtenue est stationnaire à partir du rang 5 , et tous les nombres suivants sont égaux à 1 . Si le premier nombre est 2332011 , le \(2011{ }^{\text {ème }}\) nombre de la suite est 1 .
2. Si le nombre de départ est 1 248, la liste des premiers nombres obtenus est :

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1248	89	85	145	42	20	4	16	37	58	89	145	42
		1	2	3	4	5	6	7	8	1	2	\(\ldots\)

On observe qu'à partir du rang 3 , une série de 8 nombres se répètera. \(2011=2+250 \times 8+1\). Ainsi, le \(2011^{\text {ème }}\) nombre de la suite sera le \(1^{\text {er }}\) nombre de la série de nombres répétée. Le \(2011{ }^{\text {ème }}\) nombre de la suite est 89 .