Exercice 2 — Le solitaire

Sujet

Deux configurations du jeu de solitaire sont disponibles dans le commerce. Nous allons montrer que l'une des deux configurations ne permet jamais de gagner la partie!

Opérations sur des dominos à 4 faces

On appelle dans cet exercice 4-Domino (ou 4-D) une pièce de bois carrée séparée en quatre parties égales contenant chacune un nombre égal à 0 ou à 1 . On peut multiplier ou additionner les 4-D en utilisant les règles suivantes :

R1)

R2)

R3) Un nombre pair est remplacé par 0 et un nombre impair par 1.

Premiers calculs

On considère les 4-D nommés \(\boldsymbol{E}=\)

1	0
0	1

et \(\boldsymbol{F}=\)

1	1
1	0

1. Montrer que \(F^{2}=\)

0	1
1	1

1. Montrer que \(E=F^{3}\), que \(E F=F E=F\) et que \(E+F=F^{2}\).
2. En déduire que \(F^{2}+F^{3}=F^{4}\) et que \(F^{4}+F^{5}=F^{3}\).