Exercice 1 — Énoncé — Olympiades 2011 Aix-Marseille

Sujet

Voici un énoncé proposé à des lycéens en France :
«Pour 6 kilogrammes de vernis et 4 litres de cire, on paie 95 euros. Pour 3 kilogrammes de vernis et 3 litres de cire, on paie 55,50 euros. Combien paie-t-on pour 4 kilogrammes de vernis et 5 litres de cire? »
Voici un énoncé proposé à des lycéens en Olympie des Mathématiques :
«Pour 5 pots de peinture, 3 rouleaux de papier peint et 7 pots de colle, on paie 49 euros. Pour 4 pots de peinture, 5 rouleaux de papier peint et 3 pots de colle, on paie 60 euros. Combien doit-on dépenser pour acheter
1 pot de peinture avec 1 rouleau de papier peint et 1 pot de colle? »
Saurez-vous résoudre, tel un Olympien, ces deux exercices?

Le premier exercice est, bien entendu, très classique.
Soit \(x\) le prix d'un kilogramme de vernis, et \(y\) est le prix d'un litre de cire, il s'agit de résoudre le système :

\[ \left\{\begin{array}{l} 6 x+4 y=95 \\ 3 x+3 y=55,5 \end{array}\right. \]

Le système admet une solution unique : \(10,5=x\) et \(8=y\).
Ainsi, 4 kilogrammes de vernis et 5 litres de cire coûtent \(4 \times 10,5+5 \times 8=\mathbf{8 2}\) euros.
Considérons le deuxième énoncé.
Soit \(a\) le prix d'un pot de peinture, \(b\) le prix d'un rouleau de papier peint et \(c\) le prix d'un pot de colle.
Il s'agit de trouver \(a+b+c\) sachant que \(\left\{\begin{array}{l}5 a+3 b+7 c=49\left(L_{1}\right) \\ 4 a+5 b+3 c=60\left(L_{2}\right)\end{array}\right.\)

Première solution :

On constate que \(\left(L_{1}+2 L_{2}\right)\) s'écrit \(13 a+13 b+13 c=169\). Il vient : \(a+b+c=13\).

Deuxième solution :

On écrit le système sous la forme : \(\left\{\begin{array}{l}5 a+3 b=49-7 c \\ 4 a+5 b=6-3 c\end{array}\right.\), ce qui permet d'obtenir, après résolution, \(a=5-2 c\) et \(b=8+c\).
Des lors, \(a+b+c=(5-2 c)+(8+c)+c=5-2 c+8+c+c=13\).
Ainsi, 1 pot de colle, 1 pot de peinture et 1 rouleau de papier peint coûtent 13 euros.