Sujet
Piles de triangles
Un enfant dispose de triangles équilatéraux aux sommets desquels sont inscrits les nombres 1 , 2 et 3 comme sur la figure ci-contre. Il peut en empiler sur un axe autant qu'il veut, puis compter les totaux obtenus le long des arêtes de la pile. Il obtient ainsi trois sommes.
- Les sommes obtenues peuvent-elle être toutes égales à 4 ? à 5 ? à 6 ?
- Peuvent-elles être toutes égales à 2010 ? à 2011 ?
- Si on empile deux triangles, on obtient des sommes supérieures ou égales à 4 . Pour les réduire toutes à 4 , il faut faire apparaître \((1,3)\) et \((3,1)\), c'est ce qui est impossible, car dans un empilement de deux triangles, si le 3 est au-dessus du 1, alors c'est le 2 qui est au-dessus du 3.
Pour obtenir des sommes toutes égales à 5 , il est nécessaire d'empiler au moins 3 triangles (car avec 2, la somme totale est 12), mais la somme totale est alors 18, qui est supérieur à 3 fois 5 .
On peut obtenir des sommes toutes égales à 6 en empilant 3 triangles de telle sorte que le long des arêtes on lise par exemple : 1-2-3, 2-3-1 et 3-1-2.
2. Si on empile \(n\) triangles, la somme des sommes lues en suivant les arêtes latérales du prisme est \(6 n\). Si ces sommes sont égales, elles sont égales à \(2 n\). Qu'elles puissent être égales à 2011 est donc exclu. En empilant 1005 triangles en 335 séries de 3 comme dans la question précédente, on obtient des sommes toutes égales à 2010 .
