Sujet
La semeuse
On repère chaque case du tableau (infini) ci-contre par deux entiers naturels \(a\) (abscisse) et \(b\) (ordonnée).
À chaque case, repérée par le couple ( \(a, b\) ), on attribue un nombre, noté \(f(a, b)\) respectant les conditions suivantes :
- Les cases de coordonnées \((a, b)\) et ( \(b, a\) ) reçoivent le même nombre;
- Pour tout entier \(a\), la case de coordonnées \((a, a)\) reçoit le nombre \(a+2\);
- Quels que soient les entiers \(a\) et \(b\), \(b \times f(a, a+b)=(a+b) \times f(a, b)\).
- Quels sont les nombres inscrits dans les cases de coordonnées \((1,2)\) et \((1,3)\) ?
- Plus généralement, si on se donne un entier naturel \(b\), quel est le nombre inscrit dans la case de coordonnées \((1, b)\) ?
- Quel est le numéro inscrit dans la case de coordonnées \((8,5)\) ?
- Quel est le numéro inscrit dans la case de coordonnées (2 000, 2010 ) ?
- \(f(1,2)=1 f(1,1+1)=(1+1) f(1,1)=2 \times 3=6\)
\(f(1,3)=f(1,1+2)=\frac{(1+2)}{2} f(1,2)=\frac{3}{2} \times 6=9\). - Si \(b\) est suffisamment grand : \(f(1, b)=f(1,1+b-1)=\frac{b}{b-1} f(1, b-1)\).
On peut donc écrire : \(f(1, b)=\frac{b}{b-1} \times \frac{b-1}{b-2} \times \cdots \times \frac{4}{3} \times \frac{3}{2} \times \frac{2}{1} f(1,1)=3 b\).
3. En sautant quelques étapes et en enchaînant fâcheusement les égalités, on peut écrire :
\[ f(8,5)=f(5,8)=\frac{8}{5} f(5,3)=\frac{8}{3} f(3,5)=\frac{8}{3} \times \frac{5}{2} f(3,2)=\frac{8}{3} \times \frac{5}{2} \times \frac{3}{2} f(1,2)=120 \]
- La même technique donne :
\[ f(2000,2010)=201 \times \frac{2000}{1990} \times \frac{1990}{1980} \times \cdots \times \frac{20}{10} f(10,10)=482400 . \]