Exercice 1 — Énoncé — Olympiades 2010 Versailles

Sujet

Le trapèze

La figure ci-dessous représente un trapèze ABCD de bases \([\mathrm{AB}]\) et \([\mathrm{CD}]\). Le but de l'exercice est de déterminer et de construire de tels trapèzes vérifiant la condition ( \(E\) ).

\[ \text { (E) }\left\{\begin{array}{l} C D=2 A B \\ B C=2 A D \end{array}\right. \]

(Cette figure ne représente pas une solution du problème)

On pose \(A B=a, A D=b, D H=x, K C=y\) et \(A H=h\).

Montrer que si le trapèze ABCD vérifie la condition \((E)\), alors \(\sqrt{3} b
Réciproquement, montrer que la condition ci-dessus est suffisante pour exprimer que le trapèze ABCD vérifie la condition \((E)\).
Construire un tel trapèze en prenant \(a=2\) et \(b=1\). La figure, où les traits de construction seront apparents, sera accompagnée d'une rédaction.

On associe au trapèze ABCD le triangle ADC ' cicontre, en retenant l'égalité : \(x+y=a\). L'inégalité triangulaire fournit : \(a Le théorème de Pythagore appliqué aux triangles ADH et AHC ', rectangles en H , donne l'égalité : \(b^{2}-x^{2}=4 b^{2}-y^{2}\), c'est-à-dire \(3 b^{2}=y^{2}-x^{2}\). Et comme \(a^{2}>x^{2}-y^{2}\), on obtient l'encadrement souhaité.
La question est : étant donné les nombres positifs \(a\) et \(b\) satisfaisant \(\sqrt{3} b

Les inégalités triangulaires sont satisfaites ( \(a2 b-b\) ). Dire qu'il y a un angle aigu en D est traduit par l'inégalité \(A C^{\prime 2}