Exercice 3 — Énoncé — Olympiades 2010 Toulouse

Sujet

Au ski...

Bien assis sur l'une des 100 banquettes du télésiège, se reposant skis aux pieds pendant que celui-ci le remonte en haut des pistes, Ludovic observe les numéros des banquettes qu'il croise. Les 100 banquettes sont successivement numérotées de 1 à 100, et Ludovic dans sa montée croise les 99 banquettes autres que la sienne.

Lors de sa première montée, il croise au moins 90 banquettes qui ont un numéro strictement inférieur au numéro de sa banquette. Il remarque de plus que le numéro de sa banquette est le triple du jour d'anniversaire de sa meilleure amie. Quel est le numéro de la banquette de Ludovic?
Lors de sa deuxième montée, alors qu'il observe les numéros des banquettes qu'il croise, il s'aperçoit que le numéro de sa banquette est le produit des numéros des trois dernières banquettes qu'il vient de croiser. Par ailleurs, il note que la banquette qui le précède et celle qui le suit portent des numéros qui sont des nombres premiers. Quel peut être le numéro de sa banquette?
Lors d'une dernière montée, Ludovic observe encore les banquettes qu'il croise... A l'arrivée, il peut dire que sept des banquettes croisées avaient un numéro divisant celui de sa banquette personnelle, mais que le numéro de sa banquette ne divisait que les numéros de trois des banquettes croisées. Quel est le numéro de la banquette de Ludovic?
N.B. : Un nombre premier est un nombre entier strictement supérieur à 1 et sans autre diviseur que le nombre 1 et lui-même.

Le numéro cherché \(x\) satisfait les conditions :

\[ x>90 \text { et } x \leqslant 31 \times 3, x \text { multiple de } 3 . \]

D'où \(x=31 \times 3=93\).
2. \(x\) satisfait maintenant

\[ x=y(y-1)(y-2), x-1, x-2 \text { premiers. } \]

Si \(y=3\) alors \(x=6 \quad x-1=5\) et \(x+1=7\) premiers
Si \(y=4\) alors \(x=24 \quad x+1=25\) n'est pas premier.
Si \(y=5\) alors \(x=60 \quad x-1=59\) et \(x+1=61\) sont premiers.
Si \(y \geqslant 6\) alors \(x \geqslant 120\); \(x\) est trop grand.
Il y a donc deux solutions : \(x=6\) et \(x=60\).
3. \(x\) satisfait maintenant :

\(x\) a 7 diviseurs autres que lui-même.
\(x\) a 3 multiples inférieurs à 100 .

Soit \(x=a_{1}^{n_{1}} a_{2}^{n_{2}} \cdots a_{k}^{n_{k}}\) la décomposition de \(x\) en facteurs premiers.
Un diviseur de \(x\) est de la forme \(x=a_{1}^{m_{1}} a_{2}^{m_{2}} \cdots a_{k}^{m_{k}}\) avec \(0 \leqslant m_{i} \leqslant n_{i}\).
\(x\) a donc \(\left(n_{1}+1\right)\left(n_{2}+1\right) \cdots\left(n_{k}+1\right)-1\) diviseurs autres que lui-même :
\(\left(n_{1}+1\right)\left(n_{2}+1\right) \cdots\left(n_{k}+1\right)=8=2^{3}\).

On a donc soit

\[ \begin{aligned} & k=1, n_{1}=7 \text { et } x=z^{8}>100 \text { avec } z \text { premier, ne convient pas, } \\ & k=2, n_{1}=3, n_{2}=1 \text { et } x=2^{3} \times 3=24 \text { ou } x=2 \times 3^{3}=54 \end{aligned} \]

24 convient car il a trois multiples inférieurs à 100 et autres que lui-même.