Sujet
Elise et son jeu de construction
Elise possède un jeu de construction. Ce jeu est formé de tiges métalliques rigides de même longueur \(3 a\) (où \(a\) désigne une unité de longueur donnée). On peut assembler ces tiges grâce à un système de clips. A l'extrémité d'une tige, il est possible de connecter plusieurs autres tiges.
Par exemple, les assemblages suivants sont possibles :
- Un premier problème que rencontre Elise est que, en mettant bout à bout deux tiges, elle n'est pas certaine que celles-ci soient bien alignées. Comment parvient-elle à assurer cet alignement en utilisant d'autres tiges?
Elise a des exercices à faire pour demain. Elle décide de les résoudre en utilisant uniquement son jeu de construction.
Dans la mesure où elle sait maintenant aligner parfaitement deux tiges, elle s'autorise toutefois, pour gagner du temps, l'usage de sa vieille règle dont les graduations sont effacées par l'usure.
| Exercice 1 Construire un segment parallèle à la droite ( \(d\) ) passant par le point A, situé à une distance de valeur \(2 a\) de la droite ( \(d\) ). A (d) | Exercice 2 Construire de milieu du segment [AB] de longueur \(3 a\).  |
- Elise peut-elle réaliser ces deux constructions uniquement avec son jeu et sa règle, et si oui comment?
- Elise pourrait-elle construire le milieu du segment \([\mathrm{AB}]\) avec son jeu de construction et sa règle pour une valeur quelconque de la distance \(A B\) ? Expliquer.
- Il reste à Elise un dernier exercice à faire :
Exercice 3
Construire le symétrique du point A par rapport au point O où \(O A=4 a\).
a. Elise peut-elle réaliser cette construction uniquement avec son jeu et sa vieille règle, et si oui comment?
b. Elise pourrait-elle construire le symétrique du point A par rapport au point O avec son jeu de construction et sa vieille règle pour une valeur quelconque de la distance \(O A\) ? Expliquer.
- Etant données deux tiges BA et AC , mises bout à bout, on assure leur alignement en rajoutant 5 tiges \(\mathrm{DB}, \mathrm{DA}, \mathrm{DE}, \mathrm{EA}, \mathrm{EC}\) de façon à former un assemblage rigide de trois triangles équilatéraux.
Exercice 1
En assemblant 4 tiges \(\mathrm{AB} ; \mathrm{BC} ; \mathrm{CD}\) et DA , on obtient un losange 'flexible).On place alors B et C sur la droite donnée ( \(d\) ) et A au point donné A, ce qui est possible car A est à une distance \(2 a<3 a\) de ( \(d\) ). Le segment [AD] répond à la question.
Exercice 2
Puisque [AB] a pour longueur \(3 a\), on peut assembler deux triangles équilatéraux ABC et ABD dont les côtés ont pour longueur \(3 a\).[0pt] C et D sont sur la médiatrice de [AB] et le millieu I est sur la droite (CD) que l'on trace à la règle.
2. La première construction utilise 4 tiges et pas la règle.
La seconde utilise 4 tiges ( 3 si l'on considère que la figure détermine A et B ) et la règle.
[0pt]
3. La construction du mileu est valable en utilisant 4 tiges et la règle pourvu que la longueur de [AB] soit inférieure à \(6 a\).
On peut aussi ne pas utiliser la règle mais avec 16 tiges réaliser l'assemblage suivant qui permet de construire le milieu du segment \([\mathrm{AB}]\) si la longueur de celui-ci est supérieure à \(12 a\).